Vollständige Induktion

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Bitterprince Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion
Hallo!

Irgendwie bleibe ich schon bei folgender Aufgabe am Induktionsanfang hängen:

Gegeben ist die Fuktion h mit h (x) =
Beweisen Sie, dass für die n-te Ableitungsfunktion gilt:


Ich habe jetzt den Induktionsanfang so gemacht:





zu zeigen



An dem Punkt hänge ich, ich habe h (x) abgeleitet und kann jetzt aber nicht zeigen, dass das dasselbe ist wie das davor...

Kann mir bitte jemand helfen? Vielen Dank!!
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

nutze bitte "*" oder "\cdot" für malpunkte

wo kommt denn das e^0 her? du darfst doch nicht für x=1 einsetzen!
und deine ableitung solltest du auch noch mal überdenken.
 
 
Bitterprince Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
nutze bitte "*" oder "\cdot" für malpunkte

wo kommt denn das e^0 her? du darfst doch nicht für x=1 einsetzen!
und deine ableitung solltest du auch noch mal überdenken.


eieiei...stimmt..
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

Du machst doch INduktion nach der Anzahl der der Ableitung, also nach n für . bedenke, dass h^0(x)=h(x), auch dass gilt schon, also kannst du n=0 als IA nehmen!




edit Jochen: mehrzeichige Exponenten in {..}, habs mal geändert
Bitterprince Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ableitung müsste so richtig sein, oder?

Bitterprince Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zeta
Du machst doch INduktion nach der Anzahl der der Ableitung, also nach n für . bedenke, dass h^0(x)=h(x), auch dass gilt schon, also kannst du n=0 als IA nehmen!




ah..klasse! Das ist ja noch einfacherer! So, dann mach ich jetzt mal den IS... ohje.. Kotzen
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

Falsch! statt -x ne -1 am ende, denn du must die innere funktion 1-x ableiten, und (1-x)'=-1
Bitterprince Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zeta
Falsch! statt -x ne -1 am ende, denn du must die innere funktion 1-x ableiten, und (1-x)'=-1


oh stimmt... Mensch..warum ich das immer verdrehe verwirrt
Danke, Zeta!!
Bitterprince Auf diesen Beitrag antworten »

der IS wäre ja dann:

wenn die n-te Ableitung
ist, dann ist

die n+1-te Ableitung.

Das stimmt soweit, oder?

Um das zu beweisen, muss ich doch jetzt die n-te Ableitung wiederum ableiten, richtig? Wie leite ich die ab? Muss ich da die Ketten- UND die Produktregel miteinander kombinieren?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau. Dann mal los.



Gruß, therisen
Bitterprince Auf diesen Beitrag antworten »

n wird wie eine Zahl behandelt, also die Ableitung von n wäre 0, ja?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Bitterprince Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß ehrlich gesagt nicht, wie ich da vorgehen soll!
Muss ich erst mit der Kettenregel ableiten (also ist mein u und u' dann ?) ?

Wie läuft das dann mit der Produktregel, wenn ich drei Produkte habe? Sie lautet doch:
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

du willst nach x ableiten, also ist (-1)^{n+1} nur ein konstanter faktor! so wie bei 3x^2, da bleibt die drei und kommt die 2, also (3x^2)'=2*3x^1.
du hast und
Bitterprince Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zeta
du willst nach x ableiten, also ist nur ein konstanter faktor! so wie bei , da bleibt die drei und kommt die 2, also .
du hast und


danke für den Hinweis, ich probiers!
Bitterprince Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie scheine ich im Ableitsumpf zu versinken...

, dann ist
ja?

So, wie sieht es mit und aus?

, dann ist = ??? meine Vermutung: ..aber irgendwie fehlt doch da was. Was ist mit der inneren Ableitung? Die müsste doch 0 sein? Aber dann wäre ja das ganze Produkt null..?!
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Leite mal ab!
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

Zusatz: leite das nach x (!!!!!!!!!) ab, nicht nach n oder so.
Bitterprince Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen
Leite mal ab!


das wäre, wenn n und c Konstanten sind:

.. hä? kann das stimmen? Irgendwas blicke ich nicht..

Der Hinweis, dass ich nach x ableiten soll, bringt mich da jetzt auch nicht weiter, ehrlich gesagt.. traurig
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist mir ein Rätsel, was du da tust... Irgendwie passt das nicht zusammen: Wie kann jemand, der nicht einmal ableiten kann, beweisen wollen, wie die n-te Ableitung einer Funktion aussieht? Die einzige Erklärung, die mir dazu einfällt, ist, dass du ein BWLer oder Ähnliches bist und jetzt an der Uni gezwungen wirst, ein wenig Mathematik zu machen.
Wie dem auch sei:
Du kannst auch einfach ausmultiplizieren und dann summandenweise ableiten!
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

also schreibe doch f(x)=c(n-x)=cn-cx, z.B. 3*5-3x.
was ist die ableitung? (3*5)' - (3x)' nach SUmmenregel, und das wird zu 0-3=-3, analog erhälst du -c als ableitung. und vergleiche mit deinem u(x), was ist da c?

(Bzgl. "nach x ableiten": das sieht manchmal so aus, als wenn du nach n abgeleitet hättest oder irgendwie so...)
Bitterprince Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zeta
also schreibe doch , z.B. .
was ist die ableitung? nach SUmmenregel, und das wird zu 0-3=-3, analog erhälst du -c als ableitung. und vergleiche mit deinem u(x), was ist da c?

(Bzgl. "nach x ableiten": das sieht manchmal so aus, als wenn du nach n abgeleitet hättest oder irgendwie so...)


Danke, wenigstens einer, der mit mir Geduld hat! :-) (sorry, bin mathematisch keine Leuchte.. Bin nur leider gezwungen Mathe Prüfung zu machen...)

Also..dann wäre mein c wohl ! Soll ich jetzt ausmulltiplizieren?
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

hau rein und lass sehen!
Bitterprince Auf diesen Beitrag antworten »

ach Mist, jetzt kotzt es mich aber echt an... ich komm mit dem scheiß Exponenten einfach nicht zurecht.. mit (ich denke, ihr wisst was ein Exponent ist^^...)

Ist u ausmultipliziert ??
Ich habe echt keine Ahnung, wie ich das ableiten soll..!
Bitterprince Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin echt gefrustet jetzt... könnte nicht einer von euch sich mal erbarmen und mir den Lösungsweg nennen, dann kann ich es wenigstens mal schriftlich nachvollziehen..? Wäre echt nett..!
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

wenn man kotzen muss, hat man oft nicht die richtige grundlage gehabt (ist das nicht eine tolle anspielung auf den bösen alkohol... haha)

übrigens: schau mal analysis+beweisen ist ganz neu hier...

zu dir: wir haben ja nun



die ableituing ist also: ...
Bitterprince Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zeta
wenn man kotzen muss, hat man oft nicht die richtige grundlage gehabt (ist das nicht eine tolle anspielung auf den bösen alkohol... haha)
hihi^^

Zitat:

die ableituing ist also: ...


Du bist ganz nah dran, ich merk das...!!! Big Laugh
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

ich galub auch. vielleicht hilfst du mir Augenzwinkern
Bitterprince Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zeta
ich galub auch. vielleicht hilfst du mir Augenzwinkern


ok... ich versuchs ein letztes Mal.. aber nur, weil du sonst nicht alleine draufkämst.. Big Laugh
Bitterprince Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss leider passen. Hoffnungsloser Fall, nehme ich an Klo ...
Hab - wie gesagt - keine Ahnung, wie ich diese n-Exponenten ableiten und auch sonst Ordnung reinbringen soll..

Hast du vielleicht, also.. ich meine.. bist du vielleicht schon auf ein Ergebnis gekommen? Hilfe
Ich meine, es müsste Augenzwinkern herauskommen... nur wie..?
Bitterprince Auf diesen Beitrag antworten »

ich lass euch dann auch in ruhe... Big Laugh
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

biste noch da, dann können wir eigentlich den endspurt einläuten, ist nicht mehr weit...
Bitterprince Auf diesen Beitrag antworten »

ja..jetzt wieder.. Auf gehts!! Big Laugh
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

alright: du weißt [u(x)]' [c*(n-x)]' = [cn-cx]' = -c, vgl. oben!
du hast richtig gesagt: bei dir ist c=(-1)^{n+1}
dann ist [u(x)]' = -(-1)^{n+1} = (-1) * (-1)^{n+1} = (-1)^{n+2}
Bitterprince Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zeta
alright: du weißt , vgl. oben!
du hast richtig gesagt: bei dir ist
dann ist


habs nur mit Latex anzeigen lassen..

danke erstmal, zeta..ich probiers nochmal weiter..!!
Bitterprince Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zeta
alright: du weißt , vgl. oben!
du hast richtig gesagt: bei dir ist
dann ist


Ist das mit dem c eigentlich immer so, dass es dann minus wird? Quasi das "Gesprengsel" vor dem Produkt?
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

das kommt einfach darauf an. wenn du c(n+x) hast, nicht: [c(n+x)]'=(cn+cx)'=+c
Bitterprince Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zeta
das kommt einfach darauf an. wenn du c(n+x) hast, nicht: [c(n+x)]'=(cn+cx)'=+c
stimmt.. logisch...!

So.. ich bin schon wieder ein stückchen näher^^:






das ist da aber noch..was ist damit? Das darf da nicht sein...^^

Sorry, wg. des vielen Editings...
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

Überblick:

Gegeben ist h(x)=x*e^{1-x}

Behauptung: h^(n)(x) = (-1)^{n+1}*(n-x)*e^{1-x}

Beweis:

Induktionsanfang: n=0
Da h^(0)(x)=h(x) und (-1)^{0+1}*(0-x)*e^{1-x}=x*e^{1-x} gilt, stimmts.

Induktionsvoraussetzung: Behauptung gelte für beliebiges, aber festes n.

induktionsschritt: n -> n+1

h^(n+1)(x) = [h^(n)(x)] '
= [(-1)^{n+1}*(n-x)*e^{1-x}]' nach Induktionsvoraussetzung

Jetzt setze u(x)=(-1)^{n+1}(n-x) und v(x)=e^{1-x} und bilde [u(x)*v(x)]'

Hier sind wir gerade, also nicht bei h'(x), alles klar!
Bitterprince Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zeta
Überblick:

Gegeben ist

Behauptung:

Beweis:

Induktionsanfang: n=0
Da und gilt, stimmts.

Induktionsvoraussetzung: Behauptung gelte für beliebiges, aber festes n.

induktionsschritt: n -> n+1


= nach Induktionsvoraussetzung

Jetzt setze und und bilde

Hier sind wir gerade, also nicht bei h'(x), alles klar!
Alles klar!
Habe ich gerade im letzten post (nur irrtümlicherweise H'(x) genannt), nur da hakts, weil ich ein Produkt nicht wegbringe..
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