Untegruppen abelscher Gruppen

24.05.2008, 11:38

Fletcher

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Untegruppen abelscher Gruppen

Guten Tag allerseits,

es geht mir um Folgendes:
Sei $\begin{eqnarray*} (G,+) \end{eqnarray*}$ eine abelsche Gruppe, m sei eine ganze Zahl und p eine Primzahl.

Zeigen Sie, dass folgende Mengen Untergruppen von G sind:
i) $\begin{eqnarray*} mG=\{mu; u \in G \} \end{eqnarray*}$
ii) $\begin{eqnarray*} G[m]=\{u \in G; mu=0\} \end{eqnarray*}$
iii) $\begin{eqnarray*} G(p)=\{u \in G; |u|=p^n~f.~n \geq 0\} \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand sagen, wie ich hier vorgehen muss? Welche Verknüpfung herrscht zwischen m und diesen u's?

Vielen Dank

24.05.2008, 11:43

Ambrosius

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du musst die Untergruppen Eigenschaften nachweisen, also
(i) neutrales Element in der UG
(ii) Abgeschlossenheit
(iii) Inverse

Die Verknüpfung müsste doch wieder die Addition sein

24.05.2008, 11:46

system-agent

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Du musst die Axiome für die Untergruppe zeigen, das heisst konkret:
- Ist das neutrale Element in der Menge?
- Wenn man zwei Elemente der Menge nimmt, ist die Summe immer noch drin?
- Wenn ein Element in der Menge ist, ist dann auch sein Inverses drin?

Zur Schreibweise:
(i)
$\begin{eqnarray*} mu \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u\in G \end{eqnarray*}$ bedeutet $\begin{eqnarray*} \underbrace{u+u+u+...+u}_{m-mal} \end{eqnarray*}$

(ii)
Dies ist die Menge aller Gruppenelemente, die, addiert man sich häufig genug, wieder das neutrale Element gibt, also hier Null.

(iii)
Da stand nicht zufällig noch etwas dabei, was $\begin{eqnarray*} |u| \end{eqnarray*}$ bedeuten soll? Denn für eine allgemeine Gruppe macht " $\begin{eqnarray*} |u| \end{eqnarray*}$ " zunächst mal keinen Sinn.

24.05.2008, 11:56

Fletcher

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Was $\begin{eqnarray*} |u| \end{eqnarray*}$ konkret sein soll steht nicht dabei, aber ich nehme mal an damit ist die Ordnung des Elements gemeint!

zu ii)
Das ist doch dann genau die Untergruppe, welche alle endlichen Elemente der Gruppe enthält, also die Torisonsuntergruppe. Und das ist ja schon eine bekantne Untergruppe.

Allgemein ist mir gerade nicht klar, warum es in (i) und (iii) unbedingt eine abelsche Gruppe zu sein braucht?!

24.05.2008, 12:05

system-agent

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Hab bei (i) mal ein bischen nachgerechnet und so wie ich das sehe brauchst du die Kommutativität um zu zeigen, dass das Inverse einer Elements von $\begin{eqnarray*} mG \end{eqnarray*}$ ebenfalls in $\begin{eqnarray*} mG \end{eqnarray*}$ ist.

24.05.2008, 12:08

Fletcher

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Alles klar, also am besten mal alles hinschreiben und nachprüfen. Melde mich wieder, falls ich was nicht kann. Soweit schon mal danke für die Hilfe

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25.05.2008, 19:24

Fletcher

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Guten Abend,

ich habe mich heute mal an der i) versucht und bin dabei nicht so zurecht gekommen, wie ich dachte:

zz. $\begin{eqnarray*} e_G \in mG \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} u = e_G \Rightarrow m+e_G=m \end{eqnarray*}$

zz. $\begin{eqnarray*} u_1,u_2 \in mG \Rightarrow u_1+u_2 \in mG \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m+u_1 + m+u_2=m(u_1+u_2) \end{eqnarray*}$

Ich bezweifel das eines dieser Aussagen richtig ist, un mit dem Inversen tue ich mich so schwer, dass ich erst gar nicht mehr weiter schreibe.

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

25.05.2008, 20:35

therisen

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Zitat:

Original von Fletcher
Ich bezweifel das eines dieser Aussagen richtig ist, un mit dem Inversen tue ich mich so schwer, dass ich erst gar nicht mehr weiter schreibe.

Ja, es ist alles falsch. Wie ist denn $\begin{eqnarray*} mu \end{eqnarray*}$ für eine ganze Zahl $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ definiert?

25.05.2008, 21:29

Fletcher

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So wie oben von system-agent schon beschrieben:

$\begin{eqnarray*} mu \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u\in G \end{eqnarray*}$ bedeutet $\begin{eqnarray*} \underbrace{u+u+u+...+u}_{m-mal} \end{eqnarray*}$

Also muss es z.B. so heißen:

$\begin{eqnarray*} mu_1+mu_2=m(u_1+u_2) \end{eqnarray*}$

Aber wirklich schlauer bin ich immer noch nicht,

dass oben war wohl ein Tipfehler von mir.

25.05.2008, 22:19

therisen

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$\begin{eqnarray*} 0\in mG \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} 0+\dots+0=0 \end{eqnarray*}$ . Was ist daran schwer?

25.05.2008, 22:21

irre.flexiv

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Ich löse mal auf für neutrales Element und Abgeschlossenheit bzgl. + damit du ein Gefühl dafür bekommst:

I.

Es gilt $\begin{eqnarray*} e_G \in m G \end{eqnarray*}$ denn:

Für $\begin{eqnarray*} m \cdot e_G \in m G \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} m\cdot e_G = e_G + .. + e_G = e_G \in mG \end{eqnarray*}$ .

II.

Sind $\begin{eqnarray*} m\cdot u_1, m\cdot u_2 \in mG \end{eqnarray*}$ dann folgt:

$\begin{eqnarray*} m\cdot u_1 + m\cdot u_2 = u_1 + ... + u_1 + u_2 + ... + u_2 = (u_1 + u_2) + ... + (u_1 + u_2) = m \cdot (u_1 + u_2) \in mG \end{eqnarray*}$

26.05.2008, 07:27

Fletcher

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@therisen
Schwer ist an dem neutralen Element noch nichts! Ich habe ja schon gesagt dass ich die falsche Verknüpfung verwendet habe...

Danke an irre.flexiv, jetzt ist mir zumindest mal klar, wozu man braucht, dass G eine abelsche Gruppe ist und man die Kommutativität prüfen kann, ich versuche mich jetzt mal erneut am neutralen Element:

Sei $\begin{eqnarray*} u_1 \in mG \end{eqnarray*}$ . Ich will zeigen es exisitiert ein $\begin{eqnarray*} w_1 \in mG \end{eqnarray*}$ mit: $\begin{eqnarray*} mu_1+mw_1=e_G \end{eqnarray*}$ , naja und meiner Meinung nach rechne ich jetzt das so durch wie für die Abgeschlossenheit der Addition von irre.flexiv und habe am Schluss dastehen:

$\begin{eqnarray*} m(u_1+w_1)= 0 \end{eqnarray*}$ , da nun $\begin{eqnarray*} m \neq 0 \Rightarrow (u_1+w_1)=0 \Rightarrow u_1=-w_1 \Rightarrow -mu_1 \in mG \end{eqnarray*}$

Müsste doch stimmen oder?

26.05.2008, 07:38

kiste

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Zitat:

Original von Fletcher
$\begin{eqnarray*} m(u_1+w_1)= 0 \end{eqnarray*}$ , da nun $\begin{eqnarray*} m \neq 0 \Rightarrow (u_1+w_1)=0 \Rightarrow u_1=-w_1 \Rightarrow -mu_1 \in mG \end{eqnarray*}$

Warum darfst du den durch m teilen? Das mu ist erstmal nur eine Schreibweise, warum solltest du das also tun dürfen?
Du solltest auch auf deine Folgerungspfeile ein wenig achten. Was soll diese Folgerung? $\begin{eqnarray*} u_1=-w_1 \Rightarrow -mu_1 \in mG \end{eqnarray*}$

26.05.2008, 13:40

irre.flexiv

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Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} u_1\in mG \end{eqnarray*}$ . Ich will zeigen es exisitiert ein $\begin{eqnarray*} w_1 \in mG \end{eqnarray*}$ mit ...

Vorsicht mit der Schreibweise.

Entweder du zeigst:

Wenn $\begin{eqnarray*} u_1\in mG \end{eqnarray*}$ und ein Invers $\begin{eqnarray*} w_1 \in mG \end{eqnarray*}$ existert, dann muss $\begin{eqnarray*} u_1 + w_1 = 0 \end{eqnarray*}$ erfüllt sein und nicht $\begin{eqnarray*} m\cdot u_1 + m\cdot w_1 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Aber besser ist es so:

Wenn $\begin{eqnarray*} m\cdot u_1\in mG \end{eqnarray*}$ und ein Invers $\begin{eqnarray*} m\cdot w_1 \in mG \end{eqnarray*}$ existert, dann muss $\begin{eqnarray*} m\cdot u_1 + m\cdot w_1 = 0 \end{eqnarray*}$ gelten.

Beim Beweis gehst du glaube ich von der falschen Voraussetzung aus. Kannst du mal deinen kompletten Beweis posten?

Gruß

26.05.2008, 16:29

Fletcher

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Hallo nochmal, also ich gehe davon aus:wenn u_1 und w_1 invers zueinander sind, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} mu_1+mw_1= 0 \end{eqnarray*}$

Also gilt nach der Abgeschlossenheit doch gerade, dass
$\begin{eqnarray*} m(u_1+w_1)= 0 \end{eqnarray*}$ , da nun nach meiner Annahme, m ungleich 0 war, folgt doch dass $\begin{eqnarray*} u_1+w_1= 0 \end{eqnarray*}$ sein muss. Also gilt tatsächlich dass u_1 und w_1 inverse Elemente zueinander sind und beide Elemente in mG liegen, was doch zu zeigen war.

Also wenn ich das lese was ich schreibe, zweifel ich immer mehr an der Richtigkeit der Aussage, ich glaube das ich da einiges durcheinander bringe, jedoch fällt mir auch nichts besseres ein, denn grundsätzlich gilt ja für eine Untergruppe: $\begin{eqnarray*} H < G \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h \in H \Rightarrow h^{-1} \in H \end{eqnarray*}$
Ich interpretiere diese Eigenschaft nun so, dass in unserem Fall ein Element w exisitiert, so das gilt: $\begin{eqnarray*} hw=e_G \end{eqnarray*}$ und konkret: $\begin{eqnarray*} mh+mw=0 \end{eqnarray*}$ und das wird genau dann erfüllt wenn w=-h ist, oder täusche ich mich da?

26.05.2008, 16:44

system-agent

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Ich glaube du bringst die Reihenfolge durcheinander in der du das zeigen musst.

Nehmen wir ein Element $\begin{eqnarray*} g\in mG \end{eqnarray*}$ . Wir müssen nun zeigen, dass es ein Element $\begin{eqnarray*} -g\in mG \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} g+(-g)=0 \end{eqnarray*}$ .
Wie sieht denn das $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ eigentlich aus? Es ist $\begin{eqnarray*} g=mu \end{eqnarray*}$ für ein gewisses $\begin{eqnarray*} u\in G \end{eqnarray*}$ .
Ich definiere nun einfach mal: $\begin{eqnarray*} -g:=m\cdot(-u) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} -u \end{eqnarray*}$ das Inverse von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .
Nun musst du zeigen: $\begin{eqnarray*} g+(-g)=0 \end{eqnarray*}$ , also
$\begin{eqnarray*} g+(-g)=mu+m(-u)=u+...+u+(-u)+...+(-u)=... \end{eqnarray*}$

Nun umformen und genau hier brauchst du auch die Kommutativität.

26.05.2008, 16:52

irre.flexiv

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Zitat:

wenn u_1 und w_1 invers zueinander sind

Zitat:

.. folgt doch dass $\begin{eqnarray*} u_1 + w_1 = 0 \end{eqnarray*}$

Mal benutzt du es als Voraussetzung mal folgerst du es. Du musst dich schon entscheiden.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} h\in H \Rightarrow h^{-1} \in H \end{eqnarray*}$

Genau und bei $\begin{eqnarray*} h\in H \end{eqnarray*}$ ist der Startpunkt für den Beweis! Jetzt wähle einfach ein h und mit system-agent's Hinweisen müsstest du dann zum Ziel kommen.

Gruß

26.05.2008, 18:06

Fletcher

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Um bei system-agents Notation zu bleiben, führe ich das hier einfach mal zu Ende:
$\begin{eqnarray*} g+(-g)=mu+m(-u)=u+...+u+(-u)+...+(-u)=(u+(-u))+...+(u+(-u))=0+...+0=m0=0 \end{eqnarray*}$
Daraus folgt jetzt, dass -g die Inverse zu g ist und $\begin{eqnarray*} -g \in mG \end{eqnarray*}$

Korrekt?

26.05.2008, 18:23

irre.flexiv

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Zitat:

Daraus folgt jetzt, dass -g die Inverse zu g ist und -g\in mG

$\begin{eqnarray*} -g \end{eqnarray*}$ ist per Definition von schon in $\begin{eqnarray*} mG \end{eqnarray*}$ . Damit sicherst du die Existenz ab falls $\begin{eqnarray*} g+(-g)=0 \end{eqnarray*}$ . Aber ansonsten ja. Du hast jetzt gezeigt, dass es für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} g\in mG \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} -g\in mG \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} g+(-g) = 0 \end{eqnarray*}$ . Das ist genau das was Inverse ausmacht Wink

Wink

26.05.2008, 21:50

Fletcher

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Was eine Inverse ausmacht war mir schon klar Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jetzt versuche ich mich aber mal an der nächsten Sache:

zu zeigen ist also, dass die Gruppe $\begin{eqnarray*} G[m]=\{u \in G, mu=0\} \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von G ist.

$\begin{eqnarray*} 0 \in G[m] \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} m0=0+...+0=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} zz.~u_1 \in G[m], u_2 \in G[m] \Rightarrow u_1+u_2 \in G[m] \end{eqnarray*}$

Für die Elemente $\begin{eqnarray*} u_1,u_2 \end{eqnarray*}$ gilt also $\begin{eqnarray*} mu_i=0 \end{eqnarray*}$ für i =1,2

$\begin{eqnarray*} 0=0+0=mu_1+mu_2=u_1+...+u_1+u_2+...+u_2=m(u_1+u_2)\Rightarrow u_1+u_2 \in G[m] \end{eqnarray*}$

bleibt wieder die Inverse:

Allgemein bedeutet mu=0 ja, dass $\begin{eqnarray*} |u|=m \end{eqnarray*}$ ist. Und nach einem Satz im Skript gilt für die Ordnungen: $\begin{eqnarray*} |u|=|-u| \end{eqnarray*}$ , also gilt doch auch das $\begin{eqnarray*} m(-u)=0 \end{eqnarray*}$ ist und somit liegt die Inverse von u ganz sicher in dieser Gruppe. Also ist das gegebene eine Untergruppe oder?

26.05.2008, 22:04

kiste

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Die Ordnung von u muss nicht m sein sondern nur ein Teiler von m. Ansonsten ist das in Ordnung. Abgeschlossen fehlt noch

26.05.2008, 22:06

Fletcher

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Das mit der Inversen ist okay? Abgeschlossenheit war doch schon dabei oder nicht, also ich dachte es Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.05.2008, 22:10

kiste

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Äh ja. Bin etwas neben der Kappe ^^.
Inverse waren ok, bis auf das mit dem Teiler eben.
Anders wäre es auch so gegangen:
$\begin{eqnarray*} 0 = mu + m(-u) = 0 + m(-u) \Rightarrow m(-u) = 0 \end{eqnarray*}$

26.05.2008, 22:15

Fletcher

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Okay, dann bin also mit dieser Teilaufgabe auch durch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jetzt fehlt noch die Schwierigste meiner Meinung nach:
$\begin{eqnarray*} G(p)=\{u \in G; |u|=p^n~fuer~ein ~n \geq 0\} \end{eqnarray*}$

Da habe ich schon Probleme mit diesem n, die Elemente haben ja nicht alle die Gleiche Ordnung oder? Das heißt ich muss z.b. wegen der Abgeschlossenheit auch betrachten, dass die Ordnungen unterschiedlich sein können und genau hier fehlt es gerade. Hat jemand einen Tip?

26.05.2008, 22:22

kiste

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Das mit dem Inversen hast du ja oben schon einmal gezeigt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Beachte:
o(gh) | kgv(o(g),o(h)) wobei o(g) die Ordnung von g bezeichnet.

26.05.2008, 22:43

Fletcher

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Naja p ist ja eine Primzahl also heißt das für mein kgV(o(g),(o(h))=o(g) ist falls o(g) > o(h) sein sollte...

Das mit der Abgeschlossenheit bleibt ein Problem! unglücklich

unglücklich

26.05.2008, 22:51

kiste

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Warum bleibt es ein Problem?
Du weißt doch jetzt das die Ordnung eine Primzahlpotenz teilt

edit: äh ich glaub sogar die Ordnung ist gleich dem kgV, bin heut echt etwas neben mir

26.05.2008, 22:56

irre.flexiv

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Zitat:

Die Ordnung von u muss nicht m sein sondern nur ein Teiler von m.

@kiste: Das musst du mir mal erklären.

26.05.2008, 23:01

kiste

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nimm $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/4\mathbb Z \end{eqnarray*}$ und als Element 2.
Dann ist mit m=2 und mit m=4 die Bedingung erfüllt. Die Ordnung von 2 ist aber 2

26.05.2008, 23:31

irre.flexiv

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Oh, da ist mein Fehler. Für mich war m die Ordnung von u, das ist natürlich nicht so.

27.05.2008, 08:50

Fletcher

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Mein Problem ist folgendes:
Ich möchte das wie oben für die anderen zwei Fälle hinschreiben, also gehe ich wieder davon aus, dass ich zwei Elemente aus dieser Menge nehme und diese addiere, die können jetzt jedoch unterschiedl. Ordnung haben. Was für ein Element erhalte ich nach der Addition dieser beiden? Welche Ordnung hat das dann, wahrscheinlich das kgV der beiden anderen Ordnungen, aber verstanden habe ich es noch nicht so gut.

27.05.2008, 10:56

kiste

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"Welche Ordnung hat das dann, wahrscheinlich das kgV der beiden anderen Ordnungen."

genau und das beweist du jetzt am besten und dann bist du fertig

27.05.2008, 15:48

Fletcher

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Ein Versuch:

zz. $\begin{eqnarray*} u_1 \in G(p), u_2 \in G(p) \Rightarrow u_1+u_2 \in G(p) \end{eqnarray*}$

Seien also u_1 und u_2 zwei Elemente mit unterschiedlicher Ordnung so dass also gilt:
$\begin{eqnarray*} p^nu_1=0, p^mu_2=0, oBdA~~ m<n \end{eqnarray*}$ , dann:

$\begin{eqnarray*} 0+0=p^nu_1+p^mu_2 \end{eqnarray*}$ und schon komme ich nicht mehr weiter, es funktioniert jetzt nicht mehr wie bei den anderen Aufgaben und wie ich an dieser Stelle das kgV einsetze ist mir noch nicht klar!

27.05.2008, 17:14

kiste

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Du musst doch zeigen dass das Element $\begin{eqnarray*} u_1 + u_2 \end{eqnarray*}$ Ordnung $\begin{eqnarray*} p^k \end{eqnarray*}$ hat. Wähle einfach $\begin{eqnarray*} k=max(n,m) \end{eqnarray*}$ und du bist fertig...

27.05.2008, 18:46

Fletcher

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Sorry, aber wenn du Zeit hast wäre ich dir sehr dankbar wenn du mir das etwas ausführlicher hinschreiben könntest Augenzwinkern

Augenzwinkern

Danke

27.05.2008, 21:42

Fletcher

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Abgesehen davon frage ich mich gerade, warum denn diese ganzen Untergruppen wo wir hier diskutieren keine mehr sind, wenn G nicht abelsch ist?!

Also bei der i) und ii) haben wir das ja auch genutzt und da ist es doch klar, wenn die Kommutativität wegfällt oder nicht?

28.05.2008, 00:13

kiste

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Kommutativ haben wir immer gebraucht bei m(u1 + u2) = mu1 + mu2

Ich habe doch bereits alles gesagt, wenn ich es etwas ausführlicher schreibe musst du nur noch abschreiben und das kann ja nicht Sinn der Aufgabe sein.

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