Wahrscheinlichkeit (Glühbirnen)

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svenja16 Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit (Glühbirnen)
Hi!!!

Nun, ich komm bei dieser Aufgabe nicht weiter und wäre euch dankbar wenn ihr mir helfen könntet.

Aufgabe:

a.) Für eine Schaufensterdekoration stehen farbige Glühbirnen zur Verfügung. Es gibt 4 rote, 3 grüne und 6 gelbe. Wie viele Anordnungsmöglichkeiten gibt es,
- wenn die Birnen in beliebiger Reihenfolge in einer Reihe angeordnet werden sollen?
- wenn gleichfarbige Birnen nebeneinander stehen sollen?

b.) Das Geschäft wird von den Herstellern A,B und C beliefert. Erfahrungsgemäß sind 3% der Birnen von Herrsteller A, 6% von Hersteller B und 10% von Hersteller C defekt. Das Geschäft bezieht seine Glühbirnen zur Hälfte bei A, zu 30% bei B und zu 20 % bei C.
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Käufer einer beliebig herausgegriffenen Birne eine defekte erhält.

c.) Das Geschäft erhält von A eine Sendung von 200 Birnen.
- Wie viele defekte sind im Mittel zu erwarten?
- Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden mehr als 10 defekt sein?
- Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Anzahl der defekten zwischen 4 und 10?

d.) Wie viele Birnen muss man der Produktion von Hersteller A entnehmen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens eine defekte gefunden wird?



zu a.) alle Glübirnen zusammen betragen 13 Stück
- 13! = 6227020800 Anordnungsmöglichkeiten
- 4! + 3! + 6! + 3! = 756 Anrodnungsmöglichkeiten

zu b.)
z.b. 100 Birnen
A: 50 -> 1,5 sind kaputt
B: 30 -> 1,8 sind kaputt
C: 20 -> 2 sind kaputt

- 1,5 + 1,8 + 2 = 5,3 %

- mit einer Wahrscheinlichkeit von 1,8 %

ist das soweit richtig??

ich verstehe c.) und d.) nicht so ganz, was ist bei c.) mit "im Mittel zu erwarten" gemeint??

Wäre dankbar wenn ihr mir helfen könntet.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

(a1) Bist du dir sicher? Für mich hört sich es so an, als würde die Reihenfolge unter den Farben keine Rolle spielen, sprich du könntest eine rote Birne durch eine andere ersetzen.
(a2) Wenn die Tatsache von (a1) wie oben wahr ist, ändert sich auch etwas bei (a2).

(b) Die Antwort scheint richtig zu sein. Nur solltest du dir die Darstellung deiner Lösung nocheinmal durch den Kopf gehen lassen.
Zitat:
1,5 + 1,8 + 2 = 5,3 %


(c) Im Mittel ist gleichbedeutend mit, auf längerer Zeit oder im Durchschnitt.

(d) Wie viele nicht defekte Birnen muss ich aus der Produktion von A ziehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% eine defekte zu erwischen?

Gruß
 
 
svenja16 Auf diesen Beitrag antworten »

achso ja dann müsste das bei


a(2) = 6 Möglichkeiten sein
aber bei a(1) weiß ich dann nicht wie ich das machen soll..

c.) 200 Birnen von A (3% defekt)
- zu erwarten sind 6 defekte Birnen

- * 0,03^10 * 0,97^190 = 0,04 --> 4%

- 1. * 0,03^4 * 0,97^196 = 0,134
2. * 0,03^5 * 0,97^195 = 0,162
3. * 0,03^6 * 0,97^194 = 0,163
4. * 0,03^7 * 0,97^193 = 0,14
5. * 0,03^8 * 0,97^192 = 0,104
6. * 0,03^9 * 0,97^191 = 0,06
7. 0,04

0,134+0,162+0,163+0,14+0,104+0,06+0,04 = 0,803 --> 80,3%

d.) weiß trotzdem nicht wie ich das berechnen soll?!
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

(a2) Richtig.
(a1) Wieviele Permutationen es gibt, wenn man selbst die Reihenfolge der Farben nicht ausser acht lässt, hast du ja schon ausgerechnet. Die Anzahl der Permutationen der einzelnen Farben ebenfalls. Wie kriegst du denn die zuviel gezählten Permutationen aus Ersterem jetzt wieder weg? Überlege doch noch einmal schnell. (Vergiss nicht, das du ebenfalls die Permutationen rot permutiert und grün, gelb sind fest bzw. grün permutiert und rot, gelb sind fest... wegkriegen musst).

(c) Erläutere mir doch bitte mal dein Vorgehen. Es ist schon längere Zeit her, dass ich Wahrscheinlichkeitsrechnung hatte.

(c) Nocheinmal anders ausgedrückt:

Wie viele nicht defekte Birnen muss ich aus der Produktion von A ziehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von weniger als 100%-99%=1% nocheinmal eine nicht defekte zu erwischen?
svenja16 Auf diesen Beitrag antworten »

a(1)= 6227020800 - 4! - 3 !- 6! = 6227020050

ist das so richtig wenn man es einfach subtrahiert?

zu c.) also das ist die Formel zur Binomialvertreilung.
sie lautet *p^k*q^(n-k)

als n nimmt man die gesamtzahl, also 200, k nimmt man die zu erwartende Zahl, hier 10, 4, 5 usw., p ist die Wahrscheinlichkeit zu der die Birnen defekt sind (3% = 0,03) und q ist 1-p

über d.) muss ich nochmal nachdenken..
svenja16 Auf diesen Beitrag antworten »

hab drüber nachgedacht, aber ich habe keine ahnung wie ich das berechnen soll, sorry, kannste mir vllt noch einen tipp geben.
Vielleicht habe ich auch grade einfach nur n brett vorm kopf... oder es ist einfach zu schwer für mich
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

(a1) Nein, das ist so nicht richtig. Vielmehr musst du durch das Produkt dieser teilen.

(c) Zu dieser Aufgabe werde ich erstmal kein Stellungnahme geben, da ich mir über die Lösung nicht ganz sicher bin.

(d)Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit aus einer Produktion eine nichtdefekte zu ziehen? Wenn du das weisst, überlege dir, wie hoch die Wahrscheinlichkeit beim nächsten Ziehen für eine nichtdefekte ist. Überlege dir, wie oft du hintereinader nichtdefekte ziehen musst. bis du unter 1% der Wahrscheinlichkeit kommst, beim nächsten Ziehen nocheinmal eine nichtdefekte zu erwischen. Das ist die Anzahl, die du suchst, da im gleichen Moment die Wahrscheinlichkeit etwas anderes zu ziehen, als wieder eine nicht defekte (eben eine defekte), genau die entgegengesetze Wahrscheinlichkeit darstellt und zwar 99%.
svenja16 Auf diesen Beitrag antworten »

achsoooo, also:
a(1)= 6227020800 : (4! * 3 !* 6!) = 60060

zu d.) die Wahrscheinlichkeit eine nichtdefekte zu ziehen ist 97%, bei der nächsten ist das dann 0,97*0,97=0,94 also 94 %

also ich hab das per ausprobieren versucht und dann kommt da bei mir nach dem 152ten ziehen raus aber wie man das vernünftig berechnen kann, da komm ich immer noch nicht drauf
groni Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,

zu d würde ich wie folgt vorgehen.

der zentrale grenzwertsatz müsste dir ja was sagen. damit kannst du auch eine binoialverteilung auf eine standardnormalverteilung umrechnen. als erwartungswert liegt 3% vor. für sigma² würde ich 3%*97% annehmen.
In der Tafel für die Normalverteilung kann man einen Phi Wert von 2,33 für eine Wahrscheinlichkeit von 99% ablesen. Daher ergibt sich die Lösung m.E. wie folgt:







Da die obige Angabe in % vorliegt, sollte das Ergebnis noch mit 100 multipliziert werden. Daher kannst Du mit einer 99% Wahrscheinlichkeit ab 98 Birnen davon ausgehen, dass eine defekt ist.

Bei C denke ich, dass Du richtig liegst.

Bitte die Antwort unter vorbehalt sehen, ganz sicher bin ich mir auch nicht.

Viele Grüße

Robert
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von svenja16

zu d.) die Wahrscheinlichkeit eine nichtdefekte zu ziehen ist 97%, bei der nächsten ist das dann 0,97*0,97=0,94 also 94 %

also ich hab das per ausprobieren versucht und dann kommt da bei mir nach dem 152ten ziehen raus aber wie man das vernünftig berechnen kann, da komm ich immer noch nicht drauf


194/200 ist es nur beim ersten Mal, beim zweiten Mal schon 193/199.
svenja16 Auf diesen Beitrag antworten »

das von groni versteh ich gar nicht. sorry

zu Romaxx:
ja dann komm ich ja nie unter 0,01 denn

1/6 wäre ja 16,6 % und unter 1/6 gehts ja nicht mehr?!
ich check das voll nicht
groni Auf diesen Beitrag antworten »

hallo svenja,

sagt dir die normalverteilung etwas (gauss'sche glockenkurve)?

gruß
svenja16 Auf diesen Beitrag antworten »

nee, wir haben das Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung grade erst angefangen und das ist unsere erste hausaufgabe dazu, deswegen komme ich damit auch nicht zurecht.
groni Auf diesen Beitrag antworten »

ok, dann vergiss meines schnell wieder... sorry für die verwirrung.
svenja16 Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm... wie soll ich das denn jetzt berechnen?!?!

vielleicht [(194-n)unglücklich 200-n)]^n+1 = 0,01

kann man das irgendwie auflösen??
groni Auf diesen Beitrag antworten »

naja, in excel hab ich s gerade gemacht....

Im endeffekt verkettest du folgenden bruch so lange, bis das ergebnis kleiner 1% ist. die n in der formel geben n-ten griff in lieferung an. damit liegst du ab dem 105 zug bei einer wahrscheinlickeit von 99%, eine defekte zu erwischen....

(195-n)/(201-n)


aber ich glaube ehrlich gesagt, dass das nicht der weg ist, den ihr gehen solltet.... da rechnet ihr euch ja die finger wund?

gruß
svenja16 Auf diesen Beitrag antworten »

was für wege gibts denn sonst noch?
die aufgabe ist voll schwer...........
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Falls es um Aufgabe d) geht muss man doch nur das hier nach n auflösen oder verwirrt



Edit:

Zwar liegt hier kein Ziehen MIT Zurücklegegen vor (Voraussetzung für Binomialverteilung), aber meines Wissens nähert man hier mit Binomialverteilung an.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von svenja16
das von groni versteh ich gar nicht. sorry

zu Romaxx:
ja dann komm ich ja nie unter 0,01 denn

1/6 wäre ja 16,6 % und unter 1/6 gehts ja nicht mehr?!
ich check das voll nicht


Doch, sogar schneller als vorher.

Versuche das von Bjoern1982.

Gruß
svenja16 Auf diesen Beitrag antworten »

ja dann versuch ich das mal:

1 - * 0,03^k*0,97^n >0,99

ne frage: was soll ich denn als wert für k einsetzen?? eine 0 geht ja nicht oder
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Klar geht das smile
svenja16 Auf diesen Beitrag antworten »

also für k = 0 ?

1 - ( * 1* 0,097^n) > 0,99

, wie kann ich das denn ausrechnen???!
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst ja mal die Definition des Binomialkoeffizienten nachschlagen.
0!=1 und der Rest kürzt sich weg.

http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient#Definition
svenja16 Auf diesen Beitrag antworten »

also 1- (0,97^n) > 0,99

=> 0,97^n = + 0,01
=> n= 151,19

also nach dem 152ten ziehen?!
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