Häufungspunkte einer Folge

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papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »
Häufungspunkte einer Folge
Ich erinnere mich an eine MC-Aufgabe in der gefragt wurde, ob eine reelle Folge ganz als Häufungspunktmenge haben kann. Eine Folge die als Häufungsmenge hat, kann man sehr leicht konstruieren, aber hat diese Folge dann automatisch alle reellen Zahlen als Häufungspunkte?
Ich könnte mir denken, dass das so ist weil dicht in liegt, bin mir aber nicht sicher.
Ace Piet Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Häufungspunkte einer Folge
Eine Folge ist immer noch eine Funktion , d.h. ausdrücklich mit natürlichen Argumenten. - Mein Ansatz: Ich könnte abzählen (d.h. ein solches surjektives ) finden...
 
 
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Häufungspunkte einer Folge
Das ist jetzt ein Argument wofür?
Ein Punkt muss ja nicht im Bild der Funktion liegen, damit er Häufungspunkt ist. Ich bin mir jetzt ziemlich sicher, dass eine Folge mit automatisch auch als Häufungsmenge hat.

Danke fürs mitdenken. smile
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich stimme dagegen. Allerdings habe ich noch keinen wasserdichten Beweis.

Gruß MSS
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Gedankengang war folgender:
Jede reelle Zahl x ist der Grenzwert der Folge, deren Glieder abgeschnittene Dezimalbrüche steigender Genauigkeit von x sind. Da diese insbesondere endlich sind, sind sie rational. Man wählt also aus der ursprünglichen Folge alle Glieder aus, die den abgeschnittenen Dezimalbrüchen entsprechen und erhält eine Teilfolge die gegen x konvergiert. Ergo ist x ein Häufungspunkt.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Und woher weißt du, dass diese "abgeschnittenen Dezimalbrüche" in der Folge aufgetreten sind? Sie sind doch nur Häufungspunkte, müssen also selbst gar nicht vorkommen.
Mittlerweile revidiere ich meine Meinung aber. Eine überabzählbare Menge kann tatsächlich Menge aller Häufungspunkte einer Folge sein. So ist es z.B. für die Folge .

Gruß MSS
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Und woher weißt du, dass diese "abgeschnittenen Dezimalbrüche" in der Folge aufgetreten sind? Sie sind doch nur Häufungspunkte, müssen also selbst gar nicht vorkommen.[/latex]


Ach sorry, du war ich wohl nicht präzise genug. Die Folge die ich im Sinn hatte, hatte nämlich genau alle rationalen Zahlen in ihrem Bild. Da abzählbar ist, kann ich die Liste der rationalen Zahlen abklappern und immer wieder mal von vorne anfangen: .

Diese Folge hat (mindestens) als Häufungsmenge, und nach obiger Überlegung auch ganz .

Ps: Woran erkennt man, dass deine Sinus-Folge wirklich das ganze Intervall abdeckt?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, ist abzählbar und wenn wir einfach eine Abzählung nehmen, dann ist die Menge der Häufungspunkte auf jeden Fall ganz .

Gruß MSS
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ich möchte gerne miträtseln: wozu überhaupt der "Stress" mit dem immer wieder vorne anfangen?

eine Zahl heißt Häufungspunkt, wenn in jeder Epsilonumgebung um die Zahl unendlich viele andere Zahlen liegen.
Bekanntlich liegen in jeder noch so kleinen Umgebung um eine beliebige reelle Zahl aber unendlich viele rationale Zahlen, ergo ist bereits jede reelle Zahl Häufungspunkt, wenn wir einfach die Folge a_i=q_i (um bei deiner Benennung zu bleiben) wählen.

Vielleicht war das aber auch schon das, was du mit deiner letzen Antwort sagen wolltest, Max. verwirrt

Jetzt ist auf jeden Fall noch ne Begründung mit dabei.

mfg Jochen
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@papahuhn
Jetzt hab ich mir die Antwort erst richtig zu Gemüte geführt. Das immer wieder von vorne anfangen ist natürlich gar nicht nötig.
@Jochen
Ja, das wollte ich mit meiner letzten Antwort tatsächlich sagen, aber egal. Augenzwinkern

Gruß MSS

PS: Unsere Ründchen sind sehr rar geworden in den letzten Nächten. Big Laugh
[edit von Jochen, weil OT: habe dir eine PN wegen Golf geschickt]
Ace Piet Auf diesen Beitrag antworten »

Für mich bedeutet die Fragestellung, ob es eine Folge gibt, sodass jedes als Häufungspunkt hat (und nicht, ob dicht in ist) und daher trage ich ff. mal vor...

Sei \ | hat HP , wobei die beschreibende Eigenschaft bedeute, daß x HP (= Häufungspunkt) der Funktionswerte ist.

Klar ist , denn sonst gäbe es f und mit .
Ferner gilt für beliebiges mit ,daß für jedes n, insbesondere n=1 besagt , womit \ gezeigt ist.

Für ist derart, daß es die Funktionswerte von Folgen enthält, für die J Häufungspunktmenge ist und es bleibt \ J.

Insbesondere ist = {} oder anders: Keine Folge f besitzt als HP-Menge.


-Ace-
Wink
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ace Piet
Für mich bedeutet die Fragestellung, ob es eine Folge gibt, sodass jedes als Häufungspunkt hat (und nicht, ob dicht in ist)

und nix anderes heißt das für uns; aber durch die Dichtheit wird eben eine Folge die alle rationalen Zahlen enthält zu einer gewünschten Folge, wie wir sie wollten


Zitat:
und daher trage ich ff. mal vor...

Sei \ | hat HP , wobei die beschreibende Eigenschaft bedeute, daß x HP (= Häufungspunkt) der Funktionswerte ist.

darf ich fragen, warum du x hier ausschließt?
der HP darf in der Bildmenge enthalten sein.

Insbesondere ist ={}, dann die erkenntnis, das wenn ich von der menge aller folgenglieder von folgen, die jede reelle zahl als hp haben, alle reellen zahlen weg nehme, bleibt kein element über.....
naja.......
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
ich möchte gerne miträtseln: wozu überhaupt der "Stress" mit dem immer wieder vorne anfangen?

eine Zahl heißt Häufungspunkt, wenn in jeder Epsilonumgebung um die Zahl unendlich viele andere Zahlen liegen.
Bekanntlich liegen in jeder noch so kleinen Umgebung um eine beliebige reelle Zahl aber unendlich viele rationale Zahlen, ergo ist bereits jede reelle Zahl Häufungspunkt, wenn wir einfach die Folge a_i=q_i (um bei deiner Benennung zu bleiben) wählen.



*Patsch* Na klar, ich Blödmann. smile
Ace Piet Auf diesen Beitrag antworten »

(LOED)
> darf ich fragen, warum du x hier ausschließt?
> der HP darf in der Bildmenge enthalten sein.

Vor dem Hintergrund der Def. von HP...
( heisst HP von U, wenn für jede X-offene Menge O gilt \)
... macht es IMO keinen Unterschied, ob ich U punktiere oder punktierte Umgebungen bzw. offene Mengen betrachte, sofern...
\ \
...richtig ist.

Es bringt mir nur die Erleichterung dieses auf die Existenz mind. eines weiteren Punktes zu untersuchen, statt diesen in punktierten -offenen Mengen nachzuweisen, also punktiere ich von vornherein dieses .

Zum Thema bzw. : Gibt es dort mind. 1 Element, dann deshalb, weil eine Folge f diesen Wert spendiert hat und dann gibt es auch sofort viele davon.

(OT) Wo ich schon über Punktierung rede... Ein Missverständnis Berührpunkte vs. Häufungs-(bzw. Verdichtungs-)punkte kann beim Thema "dicht" nicht auftauchen?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Ace!
Du scheinst das Ganze auf etwas höherem Niveau anzugehen, weswegen es für mich etwas schwierig ist, das alles zu verstehen.

Zitat:
Original von Ace Piet
Sei \ | hat HP , wobei die beschreibende Eigenschaft bedeute, daß x HP (= Häufungspunkt) der Funktionswerte ist.

Ist hier fest oder betrachtest du alle ? Wenn ja, was bringt dir das? Und die gleiche Frage wie von Jochen: Wie folgerst du aus , dass es eine solche Folge nicht gibt?
Und dann sag uns dochmal, was an unserer Argumentation falsch ist! Ich sehe es nicht. Wenn ich mir eine Abzählung von hernehme, dann hat diese auf jeden Fall als Menge der HPs. Denn zu jeder reellen Zahl gibt es eine Folge rationaler Zahlen, die gegen die reelle Zahl konvergiert. Das ist ein elementarer Satz aus Ana1. Und da man eine solche Folge sogar streng monoton wählen kann, findet man zu jeder reellen Zahl eine Teilfolge aus der Abzählung, die gegen die reelle Zahl konvergiert.
Und bitte: Passe deine Schriftgröße doch unserer an. Das ist ja schrecklich zum Lesen ...

Gruß MSS
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hallo ace,

http://de.wikipedia.org/wiki/H%C3%A4ufungspunkt, es gibt einen unterschied zwischen häufungspunkten bei mengen bzw. bei folgen.
insbesondere muss ein häufungspunkt einer folge nicht häufungspunkt der zugehörigen folgenwertmenge sein, jede konstante folge hätte ja sonst keinen häufungswert (folgenwertmenge ist ja ein isolierter "punkt")

ansonsten muss ich ehrlich zugeben, dass ich deinem letzten Beitrag nicht ganz folgen konnte, zumal ich aber auch nicht mit allen begriffen klar kam.
Was heißt bei dir X-offene menge?
[z.b. für X=IR, was ist IR-offen?]
einfach nur offen in IR?
dann muss bei deiner Def. von HP natürlich noch x in O gefordert werden!
dann passt das auch mit der mir bekannten def. von HP von mengen (des IR^n üblicheweise) überein....

was du dann mit punktieren (das wiederum kenne ich nur aus der medizin) meinst, weiß ich nicht.
.....

erleuchte uns!?
Ace Piet Auf diesen Beitrag antworten »


> ...das Ganze auf etwas höherem Niveau anzugehen...


Nope. - Im Gegenteil. Ich biete einen Nachweis an, von dem ich nicht *plauder* überzeugt bin. Argumente aus der Topologie würden mir gut tun. Aber ihr solltet ihn stichhaltig widerlegen. Für meinen Teil schaue ich mir demnächst die Konsequenzen von (@MSS) an... und die Add.Theoreme unter dem Aspekt geometrische Folge und Wiederholbarkeit in [-1; +1]... sehr interessant *hmm*.

(LOED)
> es gibt einen unterschied zwischen häufungspunkten bei mengen
> bzw. bei folgen.

Nein. -Fürchterlich- Betrachte die Folge als Menge ihrer Funktionswerte (*ähh* ist von diesem Typ...). In medias...

Der Häufungspunkt x einer Folge (gem. Wiki) enthält in jeder Umgebung um x einen von x verschiedenen Punkt. Die Beliebigkeit der Umgebung besagt: Es braucht nur ein von x verschiedener Punkt zu sein. Dies garantiert die unendlich vielen Punkte (= Folgenglieder), die für eine konv. Teilfolge nötig sind UND umgekehrt. - Ergo ist bei einer konst. Folge der einzige Wert x nicht HP (der Folge), sehr wohl aber Berührpunkt.

En detail:
für O mit ist klar.
Daher ist x kein HP von .

Wenn ich jedoch "Nicht-Punktierung" unterstelle, entfällt dieses und .
Diese Formulierung manifestiert sich in "Berührpunkt". x wäre (einziger) Berührpunkt und wg. wäre abgeschlossen.

Verschiedene Paar Schuhe, aber topologische Grundsätzlichkeiten...

> was du dann mit punktieren (das wiederum kenne ich nur
> aus der medizin) meinst, weiß ich nicht.
> .....

Bei einer punktierten Menge , speziell auch (punktierte Epsilon-Umgebung), verstehe schlicht U \ (= Herausnahme eines Punktes). - Man sticht den Punkt x heraus, vermutlich gibt es Parallelen zur Medizin. *g*

Die rechnerische Unterscheidung mache ich wie folgt fest:
darf den Punkt nicht enthalten, aber ist für zulässig. Im ersteren Fall kenne ich (der Punkt müsste über dem U sein) aus der gängigen Literatur.

BTW habe ich letztes Mal eine Erkenntnislücke bzgl. "offenen Abbildungen" entdeckt. - Dies sind IMO solche, wo die Bilder offen sind, sofern die Urbilder es waren (bitte keinen Konflikt mit der Umkehrung, die zur Steigkeit führt). Abgeschlossene Abb. def. sich analog.

-Ace- Wink
___________________

P.S.:

(MSS)
> Ist f hier fest oder betrachtest du alle ...

Ich hätte hinter dem Eigenschaftenstrich also schreiben sollen:
... es existiert f, sodass die Menge der Funktionswerte x als HP hat? Bzw. für mehrpunktiges J: ... es existiert f, sodass die Menge der Funktionswerte x als HP hat für jedes
(Ob das die Antwort war)

-----
> Passe deine Schriftgröße doch unserer an.
Ich habe sie (bislang) einem LaTex -Abgleich unterzogen, sodass die Diff. zum "Formeln" minimal wird. - Das war die Entscheidung für SIZE=16. - Für Vorschläge wg. gleichen Zeilenabständen, sowie gleichen Outlooks (Formeln vs. Text) bin ich abs. dankbar.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

das eine konstante folge nicht konvergent sein bzw. keinen häufungspunkt haben soll, ist mir neu!?

Zitat:
Original von Ace Piet
Sei \ | hat HP , wobei die beschreibende Eigenschaft bedeute, daß x HP (= Häufungspunkt) der Funktionswerte ist.

trotzdem frage ich mich noch, warum du hier aus den funktionswerten x ausschließt?
und insbesodere, was das für die folgen zu sagen hat?

obwohl in deiner selbstdefinierten menge A_x kein x vorkommt, gibt es folgen, die x enthalten und den häufungspunkt x haben.
genauso ist dann deine menge A_IR leer, aber was besagt das!?

wörtlich: "die funktionswerte aller folgen, die ganz IR als Häufungspunkt haben (ohne die Elemente aus ganz IR) ist leer"

verwirrt

gruß, Jochen
Ace Piet Auf diesen Beitrag antworten »


> ...das eine konstante folge nicht konvergent sein ...
Wer sagt das denn?

Die Konvergenz einer const. Folge ergibt sich aus seiner Definition... 0 = | c - | < für alle .

Ist dieses c ein HP (HÄUFT es sich da etwas bzgl. ?) oder ist es ein Berührpunkt? - Ist also ein Konvergenzpunkt ...

[_] ein HP der Menge
[_] ein BP...
[_] was anderes

Die Dinge machen sich an der Punktierung fest.
Und an der Topologie des zugrundeliegenden Raumes.
______________

(Edit)
*bäähh* Kommen noch neben den Konvergenzpunkten weitere ins Gespräche?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

finde ich übrigens cool, dass du dich mit 18 Jahren schon so mit so etwas beschäftigt hast

Eine konvergente Folge hat genau einen Häufungspunkt.
Dann wäre das aber falsch...... denn dann wäre eine konstante Folge konvergent ohne Häufungspunkt!? (deswegen hatte ich auch gedacht, du würdest Konvergenz auch gleich mit ausschließen)
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Sehe ich es richtig, dass du fragst, was ein HP einer Folge ist? Ein HP einer Folge ist ein Wert, der Grenzwert einer Teilfolge der Folge ist. Genauer sollte man dazu eigentlich Häufungswert und nicht Häufungspunkt sagen.

Gruß MSS
Ace Piet Auf diesen Beitrag antworten »

> Eine konvergente Folge hat genau einen Häufungspunkt.

Es beisst sich bei der Definition Häufungspunkt vs. Konvergenzpunkt.

Ein Häufungspunkt an sich kennt keine Bilder oder Urbilder einer Funktion bzw. Folge. - Punkte häufen sich (s.o.), wenn topologische Ortsgegebenheiten / Trennungseigenschaften erfüllt sind. Und bei Folgen sind es die im Ur-Bild-Raum. Anders gesprochen (rückwärts) gibt es Äquivalenzklassenbildung, sprich Gleichheit der Argumente, wenn es die des Bildes sind. Und dann häuft sich auch bei Folgen nix (klass. Epimorphismus).

Konvergenzpunkte sind grundsätzliche Urbild-Eigenschaften. ... Für n>m usw. gilt (...eps...). Hier unterscheidet man natürliche Zahlen, deren Bilder gleich sein können.

Vor diesem Hintergrund ist bzw. klar als Teilmenge des Bildraumes definiert.

> obwohl in deiner selbstdefinierten menge A_x kein x vorkommt,
> gibt es folgen, die x enthalten und den häufungspunkt x haben.

Eine punktierte Umgebung im Bildraum kippt sie raus.. Oben erläutert.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Ace, ich sags ganz klar: ich folge weder deiner Anhäufung von Begriffen, noch verstehe ich deine Antworten auf meine direkten Fragen.
Natürlich kann man bezüglich einer Folge eine Äquivalenzrelation auf IN bzgl. der Gleichheit der zugehörigen Folgenglieder aufbauen, doch sehe ich nicht ganz, was du damit bezweckst.....
immerhin verrät mir Wikipedia schon mal, dass du mit Epimorphismus keinen surjektiven Homomorphismus (Begriff aus der Algebra) meinst, sondern, dass der Begriff noch eine andere Bedeutung hat - eine Verwirrung weniger.

Das ich mit Punktierung nichts anfangen kann, habe ich allerdings oben schon gesagt....
wenn ich deine Aussage mit dem "rauskippen bei punktierten...." richtig deute, meinst du, dass folgendes gilt:
Wenn du eine Folge hast, die eine ganze reelle teilmenge A als Häufungswerte hat, dann kannst du durch "rauspunktieren" eine andere Folge finden, die die gleichen Häufungswerte hat, aber zugleich keinen Wert aus A annimmt!?
Wenn nein: ups
Wenn ja: kann wohl nicht stimmen und ohne zu verstehen wie du das angehst, kann ich dir aber auch keinen Denkfehler sagen.

Gegenbeispiel ist aber eindeutig unsere rationale Folge oben......
Itzcoatl1337 Auf diesen Beitrag antworten »
Folge mit Q als Grenzwert
Wie sieht zum Beispiel eine solche Folge aus?
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