unitäre Abbildungen, Skalarprodukt

24.05.2008, 11:49

MasterZnake

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unitäre Abbildungen, Skalarprodukt

Schönen Samstag,
leider ist das Skript unseres Professors auf Englisch (und sowieso sehr verwirrend)
und Wikipedia / Google helfen mir auch nicht wirklich weiter.
Deswegen komme ich mal (wieder^^) mit meinen Fragen zu euch:
Ich soll zeigen, dass eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f: V \rightarrow V \end{eqnarray*}$ unitär ist.
Gegeben habe ich $\begin{eqnarray*} <v,v> = <f(v),f(v)> \end{eqnarray*}$ .
Das Problem ist, was genau ist denn (ausser der Invarianz des Skalarprodukts bzw. der Normerhaltung)
die Definition von unitären Abbildungen?
Nächste Frage: Wieder habe ich $\begin{eqnarray*} f: V \rightarrow V \end{eqnarray*}$
(V aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ) diesmal mit Darstellungsmatrix A bezüglich B.
(B ist in diesem Fall eine Orthonormalbasis für V).
--Dazu gleich ne Frage, was genau heisst "bezüglich" in diesem Kontext?--
Ich weiss das gilt $\begin{eqnarray*} A^t = A^{-1} \end{eqnarray*}$ und soll die Invarianz des Skalarprodukts zeigen.
Nur habe ich keine Ahnung wie...

24.05.2008, 12:29

Mathespezialschüler

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Es gibt im Prinzip kein "außer" bei der Definition einer unitären Abbildung. Das ist einfach eine bijektive lineare Abbildung, die das (komplexe) Skalarprodukt erhält. Im Fall endlich-dimensionaler Vektorräume folgt die Bijektivität aus der Invarianz des Skalarprodukts, da kann man sie also als Forderung weglassen.

Und die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung sollte dir eigentlich schon früher begegnet sein. Wenn du eine andere Basis nimmst, aber die gleiche linear Abbildung beschreiben willst, dann musst du im Allgemeinen auch eine andere Darstellungsmatrix nutzen. Da solltest du nochmal in deinen Unterlagen schauen.

Zitat:

Original von MasterZnake
Ich weiss das gilt $\begin{eqnarray*} A^t = A^{-1} \end{eqnarray*}$ und soll die Invarianz des Skalarprodukts zeigen.

Die Invarianz welchen Skalarprodukts?

24.05.2008, 13:08

MasterZnake

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Es gibt im Prinzip kein "außer" bei der Definition einer unitären Abbildung. Das ist einfach eine bijektive lineare Abbildung, die das (komplexe) Skalarprodukt erhält. Im Fall endlich-dimensionaler Vektorräume folgt die Bijektivität aus der Invarianz des Skalarprodukts, da kann man sie also als Forderung weglassen.

Was soll ich denn nun beweisen? Ich weiss ja nichtmal wo ich
hinterher "ankommen" soll... verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Wenn du eine andere Basis nimmst, aber die gleiche linear Abbildung beschreiben willst, dann musst du im Allgemeinen auch eine andere Darstellungsmatrix nutzen.

Das ist mir im Prinzip schon klar, aber:
Welche Auswirkungen hat es auf A, dass B Ortonormalbasis von V ist?
Ich meine, wenn es keine hätte, warum sollte es mit in der Aufgabe vermerkt sein?

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Die Invarianz welchen Skalarprodukts?

Wie oben:
$\begin{eqnarray*} <v,v>=<f(v),f(v)> \end{eqnarray*}$

24.05.2008, 13:30

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von MasterZnake

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Wenn du eine andere Basis nimmst, aber die gleiche linear Abbildung beschreiben willst, dann musst du im Allgemeinen auch eine andere Darstellungsmatrix nutzen.

Das ist mir im Prinzip schon klar, aber:
Welche Auswirkungen hat es auf A, dass B Ortonormalbasis von V ist?

Im allgemeinen Fall erstmal noch recht wenig. Sicher hat es Auswirkungen, aber die sind dann eventuell nicht gut beschreibbar. Wenn aber sogar $\begin{eqnarray*} A^t=A^{-1} \end{eqnarray*}$ gilt, dann wirst du sehen, welche Auswirkungen das Ganze hat, wenn du die Aufgabe am Ende des Threads hoffentlich gelöst haben wirst.

Zitat:

Original von MasterZnake

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Die Invarianz welchen Skalarprodukts?

Wie oben:
$\begin{eqnarray*} <v,v>=<f(v),f(v)> \end{eqnarray*}$

Was man unter Invarianz versteht, ist mir schon klar. Meine Frage, um welches Skalarprodukt es hierbei geht. Es gibt meistens recht viele Skalarprodukte - also musst du schon angeben, mit welchem hier gearbeitet werden soll.

Übrigens: Was bedeutet " $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ "?

24.05.2008, 13:43

MasterZnake

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Meine Frage, um welches Skalarprodukt es hierbei geht.

Ich vermute:
$\begin{eqnarray*} <x,y>=\sum_i^n~x_iy_i \end{eqnarray*}$
allerdings ist das innerhalb der Aufgabenstellung auch nicht weiter definiert.

Zitat:

Original aus dem Aufgabenzettel
[...]
sei $\begin{eqnarray*} <\cdot , \cdot > : V \times V \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ein Skalarprodukt auf V.
[...]

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Übrigens: Was bedeutet " $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ "?

Stimmt, schlecht ausgedrückt:
V ist ein (endlichdim.) Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

24.05.2008, 14:42

Mathespezialschüler

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Ich dachte, es ginge dabei um ein reelles Skalarprodukt? Warum ist das jetz komplex? Könntest du vielleicht die ganze Aufgabenstellung einmal hinschreiben?

Trotzdem schon mal vorweg: Du müsstest ein paar Grundlagen aus der Vorlesung haben. Weißt du vielleicht schon, dass

$\begin{eqnarray*} \langle Av,w\rangle=\langle v,A^tw\rangle \end{eqnarray*}$

gilt, falls $\begin{eqnarray*} v,w \end{eqnarray*}$ jeweils in Koordinaten bezüglich der genannten Orthonormalbasis dargestellt seien? Wenn nicht: Sagt dir vielleicht der Begriff der Gramschen Matrix etwas? Irgendetwas in die Richtung braucht man hier.

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24.05.2008, 15:01

MasterZnake

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Könntest du vielleicht die ganze Aufgabenstellung einmal hinschreiben?

Nummer 1:
Sei V ein Vektorraum über dem Körper C der komplexen Zahlen, und
sei $\begin{eqnarray*} <\cdot , \cdot> : V \times V \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ein Skalarprodukt auf V.
Angenommen, $\begin{eqnarray*} f: V\rightarrow V \end{eqnarray*}$ sei eine lineare Abbildung, wobei
$\begin{eqnarray*} <v, v> = <f(v), f(v)> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall v\in V \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, daß f eine unitäre Abbildung ist.

Und Nr. 2:
Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} B \subset V \end{eqnarray*}$ eine
orthonormale Basis für V.
Angenommen, die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f: V\rightarrow V \end{eqnarray*}$ wird durch die Matrix
A dargestellt bezüglich der Basis B, wobei
$\begin{eqnarray*} A^{-1} = A^t \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie, daß dann $\begin{eqnarray*} <v, v> = <f(v), f(v)>~~\forall v\in V \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Weißt du vielleicht schon, dass
$\begin{eqnarray*} \langle Av,w\rangle=\langle v,A^tw\rangle \end{eqnarray*}$

gilt, falls $\begin{eqnarray*} v,w \end{eqnarray*}$ jeweils in Koordinaten bezüglich der genannten Orthonormalbasis dargestellt seien? Wenn nicht: Sagt dir vielleicht der Begriff der Gramschen Matrix etwas?

Weder noch unglücklich

unglücklich

Aber im Skript gibts nen "Tipp":

Zitat:

[...] Thus we conclude that $\begin{eqnarray*} A^-1 = A^t \end{eqnarray*}$ . (Note: this was only the proof that f orthogonal $\begin{eqnarray*} \Longrightarrow A^-1 = A^t \end{eqnarray*}$
The proof in the other direction, going backwards through our argument, is easy, and is left as an exercise for you.) [...]

Das passt inhaltlich und auch in seiner Position im Skript (^^) ganz gut

~~Nachtrag:~~
Ich denke Nr.1 hab ich fast... ich muss nurnoch zeigen:
$\begin{eqnarray*} <u,v> + \overline{<u,v>} = <f(u),f(v)> + \overline{<f(u),f(v)>} \end{eqnarray*}$
Son Ärger, dass das Skalarprodukt hermitesch ist unglücklich

unglücklich

Aber da bleibt ja eigentlich nur der Realteil übrig, kommt man darüber vl weiter?

24.05.2008, 15:29

Mathespezialschüler

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Sorry, aber dann musst du mal eure Definition einer unitären Abbildung herauskramen.

Und zu dem Beweisausschnitt wäre es ganz schön, den zugehörigen Satz mal zu sehen.

24.05.2008, 16:07

MasterZnake

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Definition:

Zitat:

if V is a unitary vector space, then linear mapping $\begin{eqnarray*} f: V \times V \end{eqnarray*}$
is called unitary mapping if $\begin{eqnarray*} \left<v,w\right> = \left<f(v),(w)\right> \end{eqnarray*}$
for all $\begin{eqnarray*} v, w \in V \end{eqnarray*}$

(Wobei ich glaube, dass hier ein f fehlt ^^)

Mein Ansatz:
$\begin{eqnarray*} \left< u+v,u+v\right> &=& \left< f(u+v),f(u+v)\right> \\\left< u,u\right> +\left< u,v\right> +\left< v,u\right> +\left< v,v\right> &=& \left< f(u+v), f(u+v)\right> \\ &=& \left< f(u)+f(v),f(u)+f(v)\right> ~|\textrm{Da f = lineare Abbildung}\\ &=& \left< f(u),f(u)\right> + \left< f(u),f(v)\right> + \left< f(v), f(u)\right> + \left< f(v),f(v)\right> \\ &=& \left< u,u\right> +\left< f(u),f(v)\right> + \left< f(v), f(u)\right> + \left< v,v\right>~|\textrm{lt. Aufgabenstellung möglich} \\\Rightarrow \left< u,v\right> +\left< v,u\right> &=& \left< f(u),f(v)\right> + \left< f(v), f(u)\right> \\\Rightarrow\left< u,v\right> + \overline{\left< u,v\right> } &=& \left< f(u),f(v)\right> + \overline{\left< f(u), f(v)\right> }~|\textrm{Da das Skalarprodukt hermitesch ist} \end{eqnarray*}$

Am Ende auf
$\begin{eqnarray*} \left<u,v\right> = \left<f(u),f(v)\right> \end{eqnarray*}$
zu kommen, ist mein Ziel

24.05.2008, 16:25

Mathespezialschüler

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Mach das Gleiche nochmal für $\begin{eqnarray*} u+\operatorname iv \end{eqnarray*}$ .

24.05.2008, 16:35

MasterZnake

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Hm da versteh ich jetzt allerdings nicht genau, was mir das bringen soll

24.05.2008, 17:33

Mathespezialschüler

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Was kommt denn raus?

24.05.2008, 17:45

MasterZnake

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$\begin{eqnarray*} \left< u,iv\right> +\left< iv,u\right> &=& \left< f(u),f(iv) \right> + \left<f(iv),f(u) \right>\\\Rightarrow i\left< u,v\right> +i\left< v,u\right> &=& \left< f(u),if(v) \right> + \left<if(v),f(u) \right>\\\Rightarrow i(\left< u,v\right> +\left< v,u\right>) &=& i\left< f(u),f(v) \right> + i\left<f(v),f(u) \right>\\\Rightarrow i(\left< u,v\right> +\left< v,u\right>) &=& i(\left< f(u),f(v) \right> + \left<f(v),f(u) \right>)\\\Rightarrow \left< u,v\right> +\overline{\left< u,v\right> }&=& \left< f(u),f(v) \right> +\overline{\left<f(u),f(v) \right> } \end{eqnarray*}$
Das Selbe.
(Ich hab das i erstmal ganz lange "mitgezogen"
und dann aus dem Skalarprodukt rausgezogen, bzw aus f(iv) und dann aus dem Skalarprodukt)
Allerdings befürchte ich, dass ich mich vertan habe, nur finde ich meinen Fehler nicht

24.05.2008, 19:32

Mathespezialschüler

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Was war nochmal $\begin{eqnarray*} \langle u,\lambda v\rangle \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \lambda\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.05.2008, 20:16

MasterZnake

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hmm das war
$\begin{eqnarray*} \left<u,\lambda v\right> = \left<\overline{\lambda}u, v\right> = \lambda\left<u,v\right> \end{eqnarray*}$
Ich glaub ich bin blind unglücklich

unglücklich

Ich sehs nich...

24.05.2008, 20:22

Mathespezialschüler

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Nein, richtig lautet es so:

$\begin{eqnarray*} \langle u,\lambda v\rangle=\left\langle \overline{\lambda}u,v\right\rangle=\overline{\lambda}\langle u,v\rangle \end{eqnarray*}$ .

24.05.2008, 21:37

MasterZnake

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Toll, dann steht es in der Wikipedia falsch...

http://upload.wikimedia.org/math/3/c/d/3cdfe91e588522614aafa24a9d629bc8.png
Davon mal abgesehen, was ist denn:
$\begin{eqnarray*} \overline{i} \end{eqnarray*}$ ? Eigentlich doch bloß $\begin{eqnarray*} -i \end{eqnarray*}$ oder irre ich mich?

24.05.2008, 22:10

Mathespezialschüler

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Ja, $\begin{eqnarray*} -\operatorname i \end{eqnarray*}$ . Und vielleicht sollte man manchmal mehr seinen eigenen Unterlagen als Wikipedia vertrauen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.05.2008, 23:03

MasterZnake

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Mit den enstprechenden Änderungen ergibt sich jetzt:
$\begin{eqnarray*} &\left<u,iv\right>+\left<iv,u\right>\\ =&-i\left<u,v\right>+i\overline{\left<u,v\right>} \end{eqnarray*}$
Aber was hilft mir das? (Irgendwie muss ich das Eindeutige übersehen)
Sei:
$\begin{eqnarray*} \left<u,v\right> = a+bi\\&\Rightarrow &-i(a+bi)+i(a-bi)\\&=&i(a-bi)+i(-a-bi)\\&=&ai-(-1)b+(-ai)-(-1)b\\&=&ai-ai+b+b\\&=&2b \end{eqnarray*}$
Lol, nette Sache, aber $\begin{eqnarray*} Nutzen = 0 \end{eqnarray*}$ ... So gehts wohl nicht ^^

24.05.2008, 23:51

Mathespezialschüler

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Wo ist das $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ geblieben? Du solltest auf

$\begin{eqnarray*} \operatorname i\overline{\langle u,v\rangle}-\operatorname i\langle u,v\rangle=\operatorname i\overline{\langle f(u),f(v)\rangle}-\operatorname i\langle f(u),f(v)\rangle \end{eqnarray*}$

kommen. Und das bringt durchaus sehr viel. Du hast nämlich gerade nachgerechnet, dass für komplexes $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} \operatorname i\overline z-\operatorname iz \end{eqnarray*}$ gerade der Imaginärteil von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ rauskommt. Und vorhin hattest du bereits die Gleichheit der Realteile festgestellt - jetzt kommt eben der andere Part.

PS: Es ist nicht gerade angenehm, wenn du meine richtige Idee "auslachst", weil du der Meinung bist, dass sie nichts bringen würde (was jedoch nur daran liegt, dass du eben nicht in der Lage warst, sie zu verwerten). Vielleicht geht es das nächste Mal etwas freundlicher, hm?

25.05.2008, 13:48

MasterZnake

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
PS: Es ist nicht gerade angenehm, wenn du meine richtige Idee "auslachst", weil du der Meinung bist, dass sie nichts bringen würde (was jedoch nur daran liegt, dass du eben nicht in der Lage warst, sie zu verwerten). Vielleicht geht es das nächste Mal etwas freundlicher, hm?

Entschuldige, dass es so rüber kam. Ich wollte deine Idee schlecht machen,
meine Lachen galt eher meiner Unfähigkeit die Hinweise zu nutzen um auf eine Lösung
zu kommen.
Vielen Dank nochmal für die Hilfe Gott

Gott

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