Affine Unterräume falsch interpretiert?

24.05.2008, 12:58

Mogga

Affine Unterräume falsch interpretiert?

Hallo erstmal!

Ich bin noch relativ frisch an der Hochschule und die Beantwortung mancher Übungsaufgaben ist doch recht... seltsam. Naja, erstmal die Aufgabe selbst.

Gegeben ist ein beliebiger Körper K. Dazu sind U und V zwei lineare, A und B zwei affine Unterräume von K^n. Ich soll zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} U \cap V \subset K^n \end{eqnarray*}$ ein linearer Unterraum und
$\begin{eqnarray*} A \cap B \subset K^n \end{eqnarray*}$ ein affiner Unterraum ist

Naja, ich stell mir das ganze immer Bildlich vor... und vermutlich komme ich genau da an einen einfachen Denkfehler, bzw. ich habe einfach Wissenslücken.

Jedenfalls kann ich mir K^n doch einfach als Ebene vorstellen. Lineare Unterräume laufen zwangsweise durch den Nullpunkt der Ebene und liegen auch in dieser.
Vermutlich Falsche Annahme Nr1: Die lin. Unterräume können sich doch nur im Nullpunkt schneiden und der Schnitt ist somit zwangsweise auch ein lin. Unterraum (Punktraum?)

Affine Unterräume sind in dieser Vorstellung ebenfalls Geraden der Ebenen, allerdings um x verschoben zum Nullpunkt (x Element K^n). Erge liegt der Schnitt nicht im Nullpunkt und deswegen ist der Schnitt ebenfalls ein affiner Unterraum.

1. Sind da irgendwo Fehler in der Denkweise bezüglich der Definition von lin./affinen Unterräumen?
2. Das ist ja nun eher eine grafische Erklärung, keine Mathematische. Kann mich da jemand in die richtige Richtung stoßen?

Grüße, Matthias

24.05.2008, 13:38

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Mogga
Jedenfalls kann ich mir K^n doch einfach als Ebene vorstellen. Lineare Unterräume laufen zwangsweise durch den Nullpunkt der Ebene und liegen auch in dieser.
Vermutlich Falsche Annahme Nr1: Die lin. Unterräume können sich doch nur im Nullpunkt schneiden und der Schnitt ist somit zwangsweise auch ein lin. Unterraum (Punktraum?)

Das ist absolut falsch. Der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ist doch schon keine Ebene mehr, sondern ein "Raum". Und bei $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ und höheren Vektorräumen hat sich das mit der geometrischen Vorstellung zunächst sowieso erstmal erledigt.
Im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ z.B. sind Unterräume bildlich gesprochen der Raum selbst, der Nullpunkt selbst (als Menge aufgefasst) und alle Ebenen und Geraden, die durch den Nullpunkt verlaufen. Zwei Ebenen durch den Nullpunkt z.B. haben aber immer einen Schnitt, der mindestens eine Gerade enthält. Im Übrigen ist deine Behauptung, der Schnitt zweier Geraden wäre immer nur der Nullpunkt, auch falsch - die Geraden können ja auch gleich sein.

Worauf ich aber hinaus will: Du darfst dir einen Vektorraum nicht einfach als Ebene vorstellen, diese hat eben nur zwei Dimensionen und bringt dir nur Spezialfälle. Bei höheren Dimensionen kann da einiges mehr "schiefgehen".

Dass deine Argumentation im Falle der affinen Unterräume dann auch lange nicht ausreicht (abgesehen davon, dass sie eh keineswegs mathematisch ist), dürfte klar sein.

24.05.2008, 14:02

Mogga

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Super, das kommt davon, wenn man seit Vorlesungsbeginn ausschließlich im R2 rumlungert. Da ich selbst noch K^n hingeschrieben habe, hätte es mir eigentlich auffallen sollen, naja, danke für den Stempel.
Klar, die Argumentation ist dann hinfällig. Der Fall, dass die Geraden identisch sind, kann man ausschließen, ist hier eine Randnotiz der Aufgabe.

Naja, jetzt macht die Aufgabe ein ganzes Stück mehr Sinn, danke schonmal.

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