Mersenne-Zahlen

24.05.2008, 16:45

Suzi

Mersenne-Zahlen

Hallo,

ich komme mit meiner Aufgabe nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ist eine ungerade Primzahl, $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ein Primfaktor von $\begin{eqnarray*} M_p = 2^p-1 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} q \equiv 1 \mod 2p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \equiv \pm 1 \mod 8 \end{eqnarray*}$

Primfaktor sagt doch einfach, dass $\begin{eqnarray*} q \equiv 0 \mod M_p \end{eqnarray*}$ gilt (und q prim ist), oder?
Bei der ersten Aussage weiß ich gar nicht, wie ich ansetzen soll. Bei der zweiten muss man zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ kein quadratischer Rest modulo $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ist. Ich dachte da an das Euler-Kriterium, aber ich komme einfach nicht weiter unglücklich

24.05.2008, 17:45

Hanno

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RE: Mersenne-Zahlen
Hallo,

Zitat:

Original von Suzi
Primfaktor sagt doch einfach, dass $\begin{eqnarray*} q \equiv 0 \mod M_p \end{eqnarray*}$ gilt (und q prim ist), oder?

Nicht ganz, sondern:
$\begin{eqnarray*} M_p \equiv 0 \mod q \end{eqnarray*}$ , q Prim.

Sagen wir du hast die Zahl 12, ein Primfaktor wäre 3.
Dann folgt $\begin{eqnarray*} q=3 \not\equiv 0 \mod 12 \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} 12 \equiv 0 \mod 3 \end{eqnarray*}$

Hoffe das hilft schon etwas weiter

24.05.2008, 18:00

Suzi

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Hallo,

leider hilft mir das noch nicht weiter, weil das mit der Kongruenz nur ein Tippfehler von mir war. Sorry, hatte ich übersehen.

Trotzdem danke!

24.05.2008, 21:28

Hanno

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Hallo,
hmm evt. hilft das weiter:

Mein Ansatz wäre, es gilt ja $\begin{eqnarray*} 2^p \equiv 2 \mod 2p \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} M_p \equiv 1 \mod 2p \end{eqnarray*}$ .
Jetzt kann man doch die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} q r = M_p \equiv 0 \mod q \end{eqnarray*}$ dort mitanwenden. Du weißt
$\begin{eqnarray*} qr \equiv 1 \mod 2p \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \overline{q} \cdot \overline{r} = \overline{1} \end{eqnarray*}$ (Restklassen in Z/2pZ)

Vielleicht kann man darauf schließen, dass q mod 2p = 1 gelten muss.

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