Umkehrfunktion + Funktion einen SP

01.02.2006, 16:08

aRo

Auf diesen Beitrag antworten »

Umkehrfunktion + Funktion einen SP

Hi!

Ich soll zeigen, dass die Funktion:
$\begin{eqnarray*} f_t(x) = \frac{3t} {t+e^x} \end{eqnarray*}$
und ihre Umkehrfunktion:
$\begin{eqnarray*} f*_t(x) = ln(\frac{3t}{x} -t) \end{eqnarray*}$

nur einen Schnittpunkt gemeinsam haben.

Mit gliechsetzen komm ich nicht weit. Oder gibts da ein einfaches Verfahren doch an die Lösung für x zu kommen?

Eine Möglichkeit wäre vielleicht, eine neue Funktion zu bauen:

$\begin{eqnarray*} h_t(x) = f_t(x) - f*_t(x) \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich irgendwie beweisen, dass diese Funktion nur eine Nullstelle besitzt.
Tjoar, wie mach ich das? Ich habe mir folgendes überlegt:

- zeige dass die Funktion "links" gegen minus unendlich geht und rechts gegen +, oder andersherum
- zeige, dass sie monoton steigend/fallend ist.

Dann wäre es doch bewiesen, oder?

Für andere Vorschläge, auch wenn meiner stimmt, wär ich auch super dankbar!!!

aRo

01.02.2006, 16:12

zeta

Auf diesen Beitrag antworten »

mal für t=1:

01.02.2006, 16:13

aRo

Auf diesen Beitrag antworten »

malen kann ich das auch Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.02.2006, 16:15

zeta

Auf diesen Beitrag antworten »

alsol beide fkt sind stetig, und es gibt einen punkt, wo grüne über rot und einen, wo grün unter rot, also zws: es gibt einen schnittpunkt

und nun, warum es einen gibt...

01.02.2006, 16:16

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Umkehrfunktion + Funktion einen SP
Naja, wir wissen ja, dass eine beliebige umkehrbare Funktion und ihre Inverse höchstens einen Schnittpunkt haben. Es reicht also zu zeigen, dass deine Funktionenpaar mindestens einen Schnittpunkt haben.

01.02.2006, 16:20

aRo

Auf diesen Beitrag antworten »

@Dual Space:

Bist du dir da sicher?!

Was wäre denn, wenn eine Funktion einen Teil der "Strecke" auf der Winkelhalbierenden verläuft und dann abknickt. Dann hat deren Umkehrfunktion doch im Prinzip unendlich viele gemeinsame Punkte.

Anzeige

01.02.2006, 16:25

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Mmm ...stimmt! Dann muss es also heißen: Eine Funktion und ihre Inverse beitzen entweder höchstens einen oder unendlich viele gemeinsame Punkte. Tja ... und damit haben wir ein Problem! verwirrt

verwirrt

Aber wir können die 2. Alternative mit Hilfe der Monotonie ausschließen! Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.02.2006, 16:57

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dual Space
Mmm ...stimmt! Dann muss es also heißen: Eine Funktion und ihre Inverse beitzen entweder höchstens einen oder unendlich viele gemeinsame Punkte. Tja ... und damit haben wir ein Problem! verwirrt

verwirrt

ich hadere sehr mit dieser aussage, wie kommt ihr darauf?

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2, g(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ (auf den entsprechenden Def-Bereichen)
Schnittpunkte x=0, x=1

und wieso sollte die Ursprungskurve die erste WH nicht endlich oft (>1) schneiden?

01.02.2006, 17:02

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

@LOED: Da war ich dann wohl schonwieder zu voreilig! Und damit zieht das Argument nicht mehr!

Nun stell ich mir aber wiklich die Frage, ob man überhaupt Aussagen über die Schnittpunktmenge treffen kann.

Also ich starte nochmal: Eine Funktion und ihre Inverse haben entweder höchstens 2 oder unendlich viele Schnittpunkte.
Damit es nicht zu sehr nach Raten aussieht, vielleicht auch eine kurze Begründung, warm höchstens 2: Wenn es mehr als 2 Schnittpunkte (aber endlich viele) geben würde, wäre eine der beiden Funktion nicht mehr monoton. Und das ist ein Widerspruch zur Invertierbarkeit!

@aRo: Sorry!

01.02.2006, 17:06

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dual Space
Also ich starte nochmal: Eine Funktion und ihre Inverse haben entweder höchstens 2 oder unendlich viele Schnittpunkte.

du erlaubst eine paintskizze damit ich mir keine entsprechende Funktion basteln muss

ich glaube das mit dem "höchstens n"... vergessen wir lieber smile

smile

01.02.2006, 17:12

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

@LOED: Gut da hast du absolut recht. Leider steht aRo jetzt wegen mir wieder ganz am Anfang! traurig

traurig

01.02.2006, 17:14

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

- zeige dass die Funktion "links" gegen minus unendlich geht und rechts gegen +, oder andersherum
- zeige, dass sie monoton steigend/fallend ist.

ich finde das hier gar nicht so verkehrt.....

wie weit kommst du damit denn aRo?

01.02.2006, 17:51

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Umkehrfunktion + Funktion einen SP
So, um wenigstens einen sinnvollen Kommentar zu geben (hoffentlich stimmts diesmal):
Die Aufgabe die zu lösen ist, ist doch äquivalent mit:
Zeigen sie, dass $\begin{eqnarray*} f_t(x) = \frac{3t} {t+e^x} \end{eqnarray*}$ genau einen Schnittpunkt mit $\begin{eqnarray*} g(x)=x \end{eqnarray*}$ hat. Und die ist (finde ich) wesentlich leichter zu lösen! Wink

Wink

Edit: Oder maW: Zeigen Sie, dass F genau einen Fixpunkt hat!
Edit2: Und das liefert sogar der Banachsche Satz!
Edit3: Und da ich anfangs so für Verwirrung gesorgt habe:
Wenn du zeigen kannst, dass das globale Minimum der ersten Ableitung von f größer als -1 ist, bist du fertig.

01.02.2006, 18:33

aRo

Auf diesen Beitrag antworten »

hi DualSpace!

Kein Problem smile

smile

Solange wir Fehler ausmerzen smile

smile

Also, hmm....dein letzter Beitrag könnte aber stimmen, oder? Also da fällt mir grad nix dagegen ein Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenns stimmt - wär das ein super Vorschlag!!

Das mit Fixpunkt, Banachsche Satz und dem Minimum versteh ich aber leider nicht. Wie kommst darauf?

@LOED: Ich bin leider noch nicht sehr weit, war bei der Mathe Nachhilfe Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und da hatte ich leider ein Problem mitm Hospital, glaub da frag ich gleich auch nochmal nach..

aRo

01.02.2006, 18:36

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Nach dem Banach'schem Fixpunktsatz hat f genau einen Fixpunkt, falls f eine Kontraktion ist, d.h. wenn f Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante < 1 ist.

Edit: Meiner Meinung nach ist die Aussage, dass f eine Kontraktion ist in diesem Fall äquivalent dazu, dass $\begin{eqnarray*} |f'(x)|<1 \end{eqnarray*}$ für alle x ist.

01.02.2006, 18:48

aRo

Auf diesen Beitrag antworten »

versteh ich nicht smile

smile

ist aber auch egal. gibts noch meinungen zu der $\begin{eqnarray*} g(x) = x \end{eqnarray*}$ Methode?

Mal zu meinem Ansatz, bin grad an den Grenzwerten:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3^-} \frac{3t}{1+e^x}-ln( \frac{3t}{x}-t) = + \infty \end{eqnarray*}$

Das habe ich jetzt druch nachdenken gemacht und natürlich weil ich den Graph kenne Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie mache ich das am besten mathematisch?

aRo

01.02.2006, 18:51

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Da (mal bildlich gesprochen) der Graph der Inversen die Spiegelung des Graphes der ursprünglichen Funktion an der Gerade g(x)=x ist, fallen die Schnittpunkte der Funktion f mit ihrer Inversen und die von f mit g(x)=x zusammen.

01.02.2006, 19:17

aRo

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, leuchtet mir ein! Cool smile

smile

meine limes Frage von oben steht noch... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und dann bin ich auch schon am nächsten Punkt, wo ich hänge:

$\begin{eqnarray*} h_t'(x) =\frac{3(t+e^x)^2-3te^x*x(3-x)}{x(3-x)(t+e^x)^2} \end{eqnarray*}$

ich will jetzt also beweisen, dass die streng monton steigend ist. das bekomme ich bei diesem monstrum aber n icht hin, ideen?
aRo

01.02.2006, 19:41

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du alles vereinfacht hast, das geht (da wär ich mir noch nicht so sicher Augenzwinkern

Augenzwinkern

), dann würd ich das so machen: Untersuche den Zähler und den Nenner separat. Damit Monotonie (steigend) herrscht, müssen sie für alle t und alle x gleiche Vorzeichen haben.

01.02.2006, 19:51

aRo

Auf diesen Beitrag antworten »

hm, ja, i know. hmmm...mir ist grad eingefallen dass ich das ja nur für 0<x<3 zeigen muss....vielleicht kriege ich das ja irgendwie hin...obwohl ich da auch nicht zuversichtlich bin unglücklich

unglücklich

Bei ner nächsten Geschichte hänge ich auch schon wieder:

nach Dual Space ansatz habe ich :

$\begin{eqnarray*} 3t = x \cdot (t + e^x) \end{eqnarray*}$

wie kriege ich das bitte gelöst?

*grummel*

aRo

01.02.2006, 19:58

zeta

Auf diesen Beitrag antworten »

edit

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »