Längenbeziehung im gleichseitigen Dreieck

01.02.2006, 17:17	Yetti	Auf diesen Beitrag antworten »
Längenbeziehung im gleichseitigen Dreieck Hiho erstmal, also die Aufgabe lautet wie folgt: Beweis einer Längenbeziehung: Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck ABC sowie ein Punkt P im Inneren des Dreiecks. Dann ist die Summe der Abstände von P zu den Dreiecksseiten unabhängig von der Wahl des Punktes P. Also meine Überlegungen waren folgende: - ich dachte man kann es mittels des Flächeninhaltes beweisen, wenn man einen beliebigen Punkt P im Dreieck festsetzt und dann die Winkelhalbierende zum Punkt P laufen lässt --> somit hat man 3 kleinere Dreiecke. Aber irgendwie hab ich nur Schmu rausbekommen, weil der Flächeninhalt der kleinen Dreiecke nicht gleich dem des normalen war... Um den Flächeninhalt des normalen Dreiecks zu bestimmen hab ich a²/4 * Wurzel 3 benutzt. Für die kleinen 1/2 * c *h genommen. Kann mir wer helfen? Mfg
01.02.2006, 18:13	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Idee ist genau richtig. Es sollen $\begin{eqnarray} d_a, d_b, d_c \end{eqnarray}$ die Abstände von $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ zu den Seiten $\begin{eqnarray} BC \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} AC \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} AB \end{eqnarray}$ des Dreiecks bezeichnen. Dies sind dann gerade Höhen der Dreiecke $\begin{eqnarray} BCP \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} ACP \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} ABP \end{eqnarray}$ . Und jetzt addiere die Flächeninhalte dieser drei Dreiecke. Das muß gleich dem Inhalt des Dreiecks $\begin{eqnarray} ABC \end{eqnarray}$ sein. Und diese Gleichheit liefert dir den Beweis. Einmal unterstellt, der Beweis wäre schon erbracht, dann kann man den Summenwert $\begin{eqnarray} d_a + d_b + d_c \end{eqnarray}$ übrigens leicht erschließen, wenn man für $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ den Grenzübergang $\begin{eqnarray} P \to A \end{eqnarray}$ (oder $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ ) durchführt.
01.02.2006, 22:24	Yetti	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Leo XD

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