Eigenwerte der pauli matrizen

24.05.2008, 19:22

Irrstern

Eigenwerte der pauli matrizen

Hi zusammen,

ich soll u.a. die eigenwerte der drei pauli-matrizen berechen. das hab ich gemacht und bekomme für alle drei matrizen $\begin{eqnarray*} \lambda_1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_2=-1 \end{eqnarray*}$ herraus. es überrascht mich ein wenig. würde mich freuen wenn mir jemand das bestätigen könnte

24.05.2008, 19:34

Mathespezialschüler

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Es wäre nett, wenn du beim nächsten Mal einfach die Matrizen einmal hier reinschreibst. Ich z.B. kannte diese Pauli-Matrizen nicht. Dein Ergebnis ist aber richtig, warum verwundert es dich?

24.05.2008, 19:43

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Ja, zumindest eine Verlinkung zum eigenen früheren diesbezüglichen Beitrag wäre ganz hilfreich gewesen.

24.05.2008, 20:13

Irrstern

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ok, mach ich nächtes mal. hab mich gewundert, weil die eigenwerte aller drei matrizen gleich sind. hast du es sofort gesehen?

nun soll ich noch $\begin{eqnarray*} exp(i*\sigma_k*t) \end{eqnarray*}$ für k=1,2,3 berechnen. in meinen aufzeichungen steht diese beziehung: $\begin{eqnarray*} exp(i*\sigma_k*t)=S*exp(D)*S^{-1} \end{eqnarray*}$ wobei D die Diagonalmatrix und S die Transformationsmatrix ist. $\begin{eqnarray*} S^{-1} \end{eqnarray*}$ ist wohl die inverse transformationsmatrix (bin mir da nicht so sicher). damit kann ich wohl meine Exponentialmatrix bestimmen.
leider find ich nichts wie ich die diagonalmatrix und transformationsmatrix bestimmen kann....

24.05.2008, 21:08

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Zitat:

Original von Irrstern
leider find ich nichts wie ich die diagonalmatrix und transformationsmatrix bestimmen kann....

Einfach die normale Diagonalisierungsprozedur durchziehen:

Eigenwerte bestimmen, und dann aus den zu den Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren die Transformationsmatrix bauen

Wirklich noch nie gemacht, oder doch eher schon wieder vergessen? Augenzwinkern

24.05.2008, 21:24

Irrstern

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ne habs wirklich noch nie gemacht, bei wiki hab ich mir was dazu durchgelesen, das bezog sich aber auf die diagonalmatrix ( http://de.wikipedia.org/wiki/Diagonalmatrix) um sie zu bestimmen muss man wohl die eigenwerte und eigenvektoren bestimmen und erhält dann die diagonalmatrix. das verfahren verstehe ich (leider nur den algorithmus nicht die mathe, aber ist mir im moment auch nicht so wichtig)
wie ich aber die transformationsmatrix erhalte ist mir immer noch schleierhaft...

25.05.2008, 10:20

Irrstern

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um die eigenvektoren zu bestimmen muss ich diese gleichung auflösen:
$\begin{eqnarray*} (\sigma_i -\lambda_{1,2} \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix})* \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$
nun hab ich ein problem mit $\begin{eqnarray*} \sigma_2=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ich erhalte ein gleichungssystem mit zwei gleichungen aber vier unbekannten:
für $\begin{eqnarray*} \lambda_1=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1&-i\\i&-1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

da x und y elemente der complexen zahlen sind sehen die gleichungen so aus:

$\begin{eqnarray*} -a_x+b_x*i+b_y-a_y*i=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -b_x+a_x*i-a_y-b_y*i=0 \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} b_y-a_x+(b_x-a_y)i=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -a_y-b_x+(a_x-b_y)i=0 \end{eqnarray*}$

wie kann ich nun den eigenvektor bestimmen?

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