extremwertbestimmung

24.05.2008, 21:40

Irrstern

extremwertbestimmung

hi ich will die extreme der folgenden funktion bestimmen:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=2x^3+xy+5x^2+y^2 \end{eqnarray*}$

dazu hab ich erst abgelitten und dann null gesetzt. nun habe ich schwierigkeiten mein ergebniss zu deuten

$\begin{eqnarray*} Df_{(x,y)}=\begin{pmatrix}6x^2+y+10x\\x+2y\end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

wenn $\begin{eqnarray*} x_1=-2y \end{eqnarray*}$ ist, ist die bedingung erfüllt, doch wie soll ich denn
$\begin{eqnarray*} 6x^2+y+10x \end{eqnarray*}$ deuten, wie kann ich errechnen, wann das ding null wird?

die x-y-beziehungen setze ich dann in meine zweite ableitung ein und gucken welches vorzeichen die determinante. von $\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2f}{x^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D^2f \end{eqnarray*}$ haben. das müsste doch stimmen oder?

24.05.2008, 23:08

Abakus

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RE: extremwertbestimmung

Zitat:

Original von Irrstern
doch wie soll ich denn
$\begin{eqnarray*} 6x^2+y+10x \end{eqnarray*}$ deuten, wie kann ich errechnen, wann das ding null wird?

Indem du die Gleichung aus der ersten Bedingung hier einsetzt. Es sollen ja beide Koordinaten simultan verschwinden.

Grüße Abakus smile

24.05.2008, 23:19

Duedi

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Die Vergangenheitsform "abgelitten" von "ableiten" gefällt mir Big Laugh

25.05.2008, 09:48

Irrstern

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danke abakus,

nun komme ich auf zwei lösungen (0,0) und $\begin{eqnarray*} -\frac{19}{12},\frac{19}{24} \end{eqnarray*}$ . meine zweite ableitung sieht so aus: $\begin{eqnarray*} D^2f\vert_{(x,y)}=\begin{pmatrix}12x+10&1\\1&2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und somit bekomme ich für (0,0) ein Minimum und für $\begin{eqnarray*} -\frac{19}{12},\frac{19}{24} \end{eqnarray*}$ ein Maximum. Jetzt hab ich die funktion mir mal in mathematica darstellen lassen und bekomme ein sattelpunkt. kann ich mathematica nicht bedienen oder ist meine rechnung falsch??

p.s. was stört dich daran duedi??

25.05.2008, 12:05

klarsoweit

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Was hast du denn gerechnet, um auf die Aussage "Minimum" bzw. "Maximum zu kommen?

25.05.2008, 13:11

Irrstern

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hier meine rechnung:

$\begin{eqnarray*} g(x,y)=2x^3+xy+5x^2+y^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Dg\vert_{x,y)}=\begin{pmatrix}6x^2+y+10y\\x+2y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=-2y \end{eqnarray*}$
das nun in die erste gleichung einsetzen:
$\begin{eqnarray*} 6x^2+10x-\frac{1}{2}x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_2=-\frac{19}{12} \end{eqnarray*}$

zwei Lösungen: (0,0); $\begin{eqnarray*} (-\frac{19}{12},\frac{19}{24}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D^2f\vert_(x,y)=\begin{pmatrix}12x+10&1\\1&2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D^2f\vert_(0,0)=\begin{pmatrix}10&1\\1&2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

det(10)>0, $\begin{eqnarray*} det(D^2f\vert_(0,0))>0 \end{eqnarray*}$ also ein Minimum

$\begin{eqnarray*} D^2f\vert_(\frac{19}{12},\frac{19}{24})=\begin{pmatrix}-9&1\\1&2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
det(-9)<0
$\begin{eqnarray*} det(D^2f\vert_(\frac{19}{12})<0 \end{eqnarray*}$
also ein Maximum

25.05.2008, 15:02

Abakus

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Also in deiner Darstellung hast du einige Schreibfehler (y statt x, Vorzeichen usw.), das Ergebnis scheint mir auf den ersten Blick aber zu stimmen.

Grenze mal in Mathematica den Bereich, den du dir anschaust, eng um den jeweils interessierenden Punkt ein. Siehst du dann immer noch den Sattelpunkt ?

Grüße Abakus smile

EDIT: einer der kritischen Punkte ist tatsächlich ein Sattelpunkt

25.05.2008, 15:11

klarsoweit

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Zitat:

Original von Irrstern
det(10)>0, $\begin{eqnarray*} det(D^2f\vert_(0,0))>0 \end{eqnarray*}$ also ein Minimum

Ich weiß zwar jetzt nicht, was du mit "det(10)>0" sagen willst. Ob eine Matrix positiv oder negativ definit ist, hängt nicht am Vorzeichen der Determinante, sondern am Vorzeichen der Eigenwerte.

25.05.2008, 15:50

Irrstern

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wir haben es so in der übung so gemacht klarosoweit. mehr kann ich dazu nicht sagen. du meinst ich muss die eigenwerte der hessematrix berechnen und gucken welche vorzeichen sie haben? so wie ich es gemacht hab ist es definitiv falsch??

25.05.2008, 16:31

Abakus

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Zitat:

Original von Irrstern
$\begin{eqnarray*} D^2f\vert_(\frac{19}{12},\frac{19}{24})=\begin{pmatrix}-9&1\\1&2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
det(-9)<0
$\begin{eqnarray*} det(D^2f\vert_(\frac{19}{12})<0 \end{eqnarray*}$
also ein Maximum

Schau dir nochmal das Kriterium für ein Maximum bzw. einen Sattelpunkt an. Damit kannst du folgern, dass der untersuchte Punkt (ein Minuszeichen musst du noch dazudenken) ein Sattelpunkt ist:

Dies folgt daraus, dass diese Determinante $\begin{eqnarray*} det (D^2f)(-\frac{19}{12}, \frac{19}{24}) \end{eqnarray*}$ kleiner Null ist (dann muss es einen positiven und einen negativen Eigenwert geben; denn wegen der Symmetrie ist die Matrix diagonalisierbar). Das Vorzeichen der Komponente oben links in der Matrix spielt in diesem Fall keine Rolle. D.h. die Matrix ist indefinit.

Grüße Abakus smile

EDIT: kritischer Punkt

25.05.2008, 21:39

WebFritzi

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Zitat:

Original von Abakus
Das Vorzeichen der Komponente oben links in der Matrix

Welches vorher von Irrstern (m.E.) noch nirgends erwähnt wurde.

25.05.2008, 22:36

Abakus

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Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von Abakus
Das Vorzeichen der Komponente oben links in der Matrix

Welches vorher von Irrstern (m.E.) noch nirgends erwähnt wurde.

Irrstern sagt ja explizit, dass 10 > 0 und -9 < 0 (wobei er es als (1x1)-Unterdeterminante schreibt). Wenn die Determinante der gesamten (2x2)-Matrix positiv ist, lässt sich anhand des Vorzeichens dieser Komponente oben links entscheiden, ob ein Maximum oder Minimum vorliegt.

Grüße Abakus smile

25.05.2008, 22:38

Duedi

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Zitat:

Original von Irrstern
p.s. was stört dich daran duedi??

Du fragst mich im Ernst, was mich daran stört?

EDIT: schau mal im Duden nach der korrekten Vergangenheitsform Augenzwinkern