Ungleichung

01.02.2006, 19:30

aRo

Ungleichung

Hallo!

Ich möchte zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} z \cdot ln(z) - z + \frac{z}{ln(z)} > 1 \end{eqnarray*}$

ist. Für alle z, dabei ist z>1 vorgegeben.

$\begin{eqnarray*} z \cdot ( ln(z) - 1 + \frac{1}{ln(z)})>1 \end{eqnarray*}$

jetzt kann man auf die idee kommen, dass beide Faktoren größer als eins sein müssen, bzw könnten...also dann wärs jedenfalls gewährleistet.

da z>1, bleibt noch die Klammer.

die kann ich umformen zu:
$\begin{eqnarray*} (ln(z)-1)^2 > 0 \end{eqnarray*}$

sooo!! Wenn ich jetzt aber sage $\begin{eqnarray*} z = e \end{eqnarray*}$ , geht das unten nicht.
Wenn ich aber oben $\begin{eqnarray*} z=e \end{eqnarray*}$ einsetze, gehts.

Wo mache ich mir denn das kaputt? Ich brauche doch auch keine Fallunterscheidung, da der $\begin{eqnarray*} ln(z) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} z > 1 \end{eqnarray*}$ mit dem ich mulitpliziere auf jeden Fall $\begin{eqnarray*} > 0 \end{eqnarray*}$ ist...

aRo

01.02.2006, 19:34

JochenX

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setzt du es gleich oben ein (nach ausklammern), dann hast du auch 1 in der klammer
aber e+1>1 ist ja richtig

zumal z>1 gegeben ist, muss dein klammerausdruck eh nur noch >=1 sein

01.02.2006, 19:48

Mathespezialschüler

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Deine Umformung ist falsch. $\begin{eqnarray*} (\ln z)^2-\ln z+1\neq (\ln z-1)^2 \end{eqnarray*}$ !

Gruß MSS

01.02.2006, 19:54

aRo

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$\begin{eqnarray*} ln(z) -1 + \frac{1}{ln(z)} > 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln^2(z) -ln(z) + +1 > ln(z) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln^2(z)-2ln(z) +1 >0 \end{eqnarray*}$

aRo

01.02.2006, 19:55

20_Cent

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$\begin{eqnarray*} ln(z) - 1 + \frac{1}{ln(z)}>1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=>ln^2(z)-ln(z)+1>ln(z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=>(ln(z)-1)^2>0 \end{eqnarray*}$

oder nicht?

edit: gut, dann wirds wohl stimmen Augenzwinkern

01.02.2006, 19:59

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RE: Ungleichung

Zitat:

Original von aRo
$\begin{eqnarray*} z \cdot ( ln(z) - 1 + \frac{1}{ln(z)})>1 \end{eqnarray*}$

jetzt kann man auf die idee kommen, dass beide Faktoren größer als eins sein müssen, bzw könnten...also dann wärs jedenfalls gewährleistet.

Das ist auch gewährleistet, da für alle positiven reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} x+\frac{1}{x} \geq 2 \end{eqnarray*}$ gilt. Ist einfach zu beweisen, z.B. mit AMGM. Und das dann einfach mit $\begin{eqnarray*} x=\ln(z) \end{eqnarray*}$ verwenden.

01.02.2006, 19:59

Mathespezialschüler

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Ah, ok. Da stand $\begin{eqnarray*} >1 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} >0 \end{eqnarray*}$ , sorry. smile

Also: Warum das nicht klappt bzw. wie es anders geht: Wenn $\begin{eqnarray*} z>1 \end{eqnarray*}$ ist, dann brauchst du für den anderen Faktor nur noch

$\begin{eqnarray*} \ln z-1+\frac{1}{\ln z}\geq 1 \end{eqnarray*}$

nachzuweisen und das gilt immer.

Gruß MSS

01.02.2006, 20:21

aRo

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@Arthur: was ist AMGM?

@Mathespezialschüler: wieso gilt das immer?

und ich bin irgendwie immer noch ratlos, warum mein $\begin{eqnarray*} z=e \end{eqnarray*}$ solche schwierigkeiten macht.

aRo

01.02.2006, 20:29

Mathespezialschüler

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Weil das äquivalent zu $\begin{eqnarray*} (\ln z-1)^2\geq 0 \end{eqnarray*}$ ist, wie du schon gezeigt hast. AMGM=Ungleichung
zwischen arithmetischem und geometrischen Mittel.

Gruß MSS

01.02.2006, 20:35

aRo

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hmm...es hängt also an dem $\begin{eqnarray*} > \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ . Das sehe ich ja ein.

Aber vom Prinzip her:

wenn $\begin{eqnarray*} z=e \end{eqnarray*}$ oben in meiner Zeile wahr ist (auch bei $\begin{eqnarray*} >1 \end{eqnarray*}$ ) und unten plötzlich nicht mehr, denn
$\begin{eqnarray*} 0 >0 \end{eqnarray*}$ stimmt ja nicht.....dann versteh ichs immer noch nicht.

aRo

01.02.2006, 20:41

Mathespezialschüler

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Wie gesagt, du musst ja nur $\begin{eqnarray*} 0\geq 0 \end{eqnarray*}$ zeige für $\begin{eqnarray*} z=\operatorname e \end{eqnarray*}$ . Soll heißen: Der eine Faktor ist $\begin{eqnarray*} >1 \end{eqnarray*}$ , nämlich $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ . Der andere Faktor, den ich mal $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nenne, ist $\begin{eqnarray*} =1 \end{eqnarray*}$ . Also ist das Produkt doch trotzdem noch $\begin{eqnarray*} >1 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} az=z>1 \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

01.02.2006, 21:00

aRo

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ja, ich habs gecheckt....mir ist grad aufgefallen dass es auch vorher für $\begin{eqnarray*} z=e \end{eqnarray*}$ nicht gegangen wäre...denn dann wäre ja $\begin{eqnarray*} 1>1 \end{eqnarray*}$ gewesen....

gut, danke euch! smile

aRo

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