Erwartungswert

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24.05.2008, 22:25	Olivia123	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert Guten Morgen, ich beschäftige mich mit folgender Aufgabe: Sei X eine Poissonverteilte Zufallsvariable mit Parameter $\begin{eqnarray} lambda>0 \end{eqnarray}$ . Bestimmen den Erwartungswert der Zufallsvariablen: Y= $\begin{eqnarray} \frac{1}{X+1} \end{eqnarray}$ und Z= $\begin{eqnarray} \frac{X}{X+1} \end{eqnarray}$ Man kann ja leider den Erwartungswert nicht reinziehen, deshalb hab ich mal so angesetzt: Zunächst die Dichte von Y bestimmen und dann den Erwartungwert ausrechnen: P(Y $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ k)=P( $\begin{eqnarray} \frac{1}{X+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ k)=...=P(X $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ -1+ $\begin{eqnarray} \frac{1}{k} \end{eqnarray}$ )=1-P(X $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ -1+ $\begin{eqnarray} \frac{1}{k} \end{eqnarray}$ ) So nun kommt das Problem. Die Poissonverteilung ist eine diskrete Verteilung deshalb: $\begin{eqnarray} 1-\sum_{l=0}^{ \frac{1}{k}-k} ~e^{-\alpha} \frac{\alpha^{l}}{l!} \end{eqnarray}$ Und wie gehe ich weiter vor??? Wie kann ich das denn lösen?? Danke sehr um Hilfe
24.05.2008, 22:43	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert einer diskreten Zufallsgröße $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ mit Werten in $\begin{eqnarray} \mathbb{N}_0 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} E(X) = \sum_{n=0}^{\infty} ~ n\cdot P(X=n) \end{eqnarray}$ . Ist dir vermutlich bekannt. Was du aber wohl nicht kennst, dass auch $\begin{eqnarray} E(g(X)) = \sum_{n=0}^{\infty} ~ g(n)\cdot P(X=n) \end{eqnarray}$ für eine beliebige (!) Funktion $\begin{eqnarray} g:\;\mathbb{N}_0\to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ gilt. In deinem Fall also für $\begin{eqnarray} g(n) = \frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ .
25.05.2008, 08:06	Olivia123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaub ich kann dir nicht ganz folgen, steht dann wohl $\begin{eqnarray} E[\frac{1}{X+1}]= \sum_{n=0}^{\infty }~{ \frac{1}{1+n} \cdot \sum_{k=0}^{\infty }~ e^{-\alpha} \frac{\alpha^k}{k!}} \end{eqnarray}$ dar??? Ich vermute mal nicht
25.05.2008, 08:10	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Du machst ja wirklich grauenhafte Fehler mit deiner Raterei. Einfach nur einsetzen ergibt $\begin{eqnarray} E\left[ \frac{1}{X+1} \right]= \sum_{n=0}^{\infty }~{ \frac{1}{1+n} e^{-\alpha} \frac{\alpha^n}{n!}} \end{eqnarray}$ . P.S. zu deinem ersten Beitrag: Ein Student, der es wagt, für ganzzahlige $\begin{eqnarray} k\geq 2 \end{eqnarray}$ mit einer Summe $\begin{eqnarray} \sum_{l=0}^{\frac{1}{k}-k} (\cdots) \end{eqnarray}$ anzukommen, sollte sich eigentlich was schämen: Welchen Sinn macht da diese obere Summationsgrenze? Keinen.
25.05.2008, 08:19	Olivia123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja eben gar keinen!!!! Das ist ja auch mein Problem! Probieren geht doch über studieren?! Das nächste mal denke ich länger nach. Vielen dank für deine Mühe
25.05.2008, 18:20	Olivia123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe jetzt mal E[Y] versucht zu berechnen: $\begin{eqnarray} E[Y]= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}e^{-\alpha} \frac{\alpha^n}{n!}= e^{-\alpha} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\alpha^n}{(n+1)!} = e^{-\alpha}\frac{1}{\alpha} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\alpha^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{e^{-\alpha}}{\alpha}(e^{\alpha}-1) \end{eqnarray}$ Ist das korrekt? Bei E[Z] habe ich größere Probleme, kannst du mir einen Tip geben wie es an dieser Stelle weitergeht? : $\begin{eqnarray} E[Y]= \sum_{n=0}^{\infty}e^{-\alpha} \frac{n\alpha^n}{(n+1)!} \end{eqnarray}$ Danke
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25.05.2008, 18:27	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} E[Y] \end{eqnarray}$ ist korrekt. Bei $\begin{eqnarray} E[Z] \end{eqnarray}$ kannst du dir das Leben etwas leichter machen durch vorherigen scharfen Blick auf $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} Z = \frac{X}{X+1} = \frac{X+1-1}{X+1} = 1-\frac{1}{X+1} = 1-Y \end{eqnarray}$ . Also auch $\begin{eqnarray} E[Z] = E[1]-E[Y] = 1-E[Y] \end{eqnarray}$ . Manchmal ist es einfacher, als man denkt.
25.05.2008, 18:40	Olivia123	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast mir sehr geholfen vielen Dank. Hoffe du verzweifelst nicht so sehr an mir Bis demnächst, Gruß
25.05.2008, 18:44	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
An Leuten, die aufgeschlossen reagieren, verzweifle ich nie.

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