Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionsfolge

01.02.2006, 19:52

Großes Fragezeichen

Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionsfolge

Hallo!!

Ich habe vor ein paar Wochen eine Aufgabe bekommen und zwar musste ich zeigen, dass die Funkionsfolge

$\begin{eqnarray*} f_n(x):=\frac{n}{n+1}*x^2+\frac{1}{n}*sin(nx) \end{eqnarray*}$

gleichmäßig konvergiert.

Nun haben wir aber die Lösungen bekommen und da versteh ich einiges nicht, weil ichs ein wenig anderst gemacht habe. Zwar auch fast richtig, aber die Lösung unseres Tutors sieht folgendermaßen aus:

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1}=1 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}*sin(nx)=0 \end{eqnarray*}$

Somit gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray*} n_0 \leq n \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} |\frac{n}{n+1}-1|< \frac{\epsilon}{98} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{n}*sin(nx)-0|< \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$

Das ist der erste Teil des Beweises und ich komm einfach nicht drauf, wie die auf das $\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon}{98} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$ gekommen sind. Hab mir dann gedacht, dass mir vielleicht hier jemand erklären kann wie man auf diese Werte kommt....

edit: Fehler im Titel verbessert. (MSS)

01.02.2006, 20:06

Mathespezialschüler

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Ich habe keine Ahnung, was das bringen soll mit dieser Abschätzung. Welche Werte darf denn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ annehmen? Alle reellen? Wenn ja, dann weiß ich echt nicht, warum das so gemacht wurde. Die Funktionenfolge konvergiert auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nicht gleichmäßig.

Gruß MSS

01.02.2006, 21:31

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Sorry, hab ganz vergessen was wichtiges anzugeben und zwar ist die Funktion so definiert:

$\begin{eqnarray*} f: [0,7] -> R \end{eqnarray*}$

und damit konvergiert $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ gleichmäßig und zwar gegen $\begin{eqnarray*} f(x):=x^2 \end{eqnarray*}$

Diese Abschätzung hat man doch gemacht um zu schauen, gegen welche, wenn überhaupt, Funktion $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ konvergiert.
Ich hatte es so gemacht:

$\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty}f_n(x)= lim_{n \to \infty}\frac{n}{n+1}*x^2+lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}*sin(nx) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = x^2lim_{n \to \infty}\frac{n}{n+1}+0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = x^2*1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =x^2 \end{eqnarray*}$

Wie gesagt in der Musterlösung war das der erste Teil und ich komme mit dem überhaupt nicht klar, wenn ich weiss nicht wie man auf diese Werte kommt.

Ich kann aber mal den zweiten Teil aufschreiben, so wie er uns gegeben wurde:

$\begin{eqnarray*} |f_n-x^2| = |\frac{n}{n+1}*x^2+\frac{1}{n}*sin(nx)-x^2| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq |\frac{n}{n+1}*x^2-x^2|+|\frac{1}{n}*sin(nx)| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = |\frac{n}{n+1}-1|*|x^2|+|\frac{1}{n}|*|sin(nx)| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq |\frac{n}{n+1}-1|*49+|\frac{1}{n}|*1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} < \frac{\epsilon}{98}*48+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon \end{eqnarray*}$

Aber das macht micht auch nicht schlauer, warum der erste Teil so ist wie er ist..... verwirrt

01.02.2006, 21:38

Mathespezialschüler

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Das wird so gemacht, weil $\begin{eqnarray*} |x^2|\leq 49 \end{eqnarray*}$ ist. Es gilt dann nämlich:

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{n}{n+1}-1\right||x^2|<\frac{\varepsilon}{98}|x^2|\leq \frac{\varepsilon}{98}\cdot 7^2=\frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$ .

Und das ist insofern gut, als dass der andere Term ja auch durch $\begin{eqnarray*} \frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$ nach oben abgeschätzt wird, du also dann $\begin{eqnarray*} \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \end{eqnarray*}$ hast.

Gruß MSS

02.02.2006, 17:32

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Ok, $\begin{eqnarray*} |x^2|<49 \end{eqnarray*}$ das versteh ich ja und ich versteh auch,
dass es dann so aussieht:

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{n}{n+1}-1\right||x^2|<\frac{\varepsilon}{98}|x^2|\leq \frac{\varepsilon}{98}\cdot 7^2=\frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$ .

Das ist jetzt vielleicht ein wenig blöd, aber ich komm einfach nicht frauf, warum

$\begin{eqnarray*} |\frac{n}{n+1}-1|< \frac{\epsilon}{98} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{n}*sin(nx)-0|< \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$

das so ist.

Müsste es nicht z.b.
$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{n}*sin(nx)-0|< \epsilon \end{eqnarray*}$ heißen?

02.02.2006, 23:13

Mathespezialschüler

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Achso. Das ist dein Problem. In der Definition steht ja:
Eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , falls es zu jeder positiven Zahl $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt, sodass für alle $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} |a_n-a|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

In der Definition kannst du auch $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{\varepsilon}{98} \end{eqnarray*}$ ersetzen, denn das sind ja auch nur positive Zahlen. Man könnte ja die Definition auch so hinschreiben:
Eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , falls es zu jeder positiven Zahl $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt, sodass für alle $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} |a_n-a|<b \end{eqnarray*}$ .

Denke daran: Namen sind Schall und Rauch. Augenzwinkern

Wenn du jetzt einen Beweis führst, so wie hier, dann kannst du ja folgendes sagen: Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann gibt es nach der obigen Definition zu der positiven Zahl $\begin{eqnarray*} b=\frac{\varepsilon}{98} \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass ... . Genausogut kannst du jede beliebige andere positive Zahl dort einsetzen.

Gruß MSS

03.02.2006, 21:59

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Ok, also kann ich das beliebig wählen und in diesem Fall wählt man die Werte so, weil man am Ende

$\begin{eqnarray*} ...< \frac{\epsilon}{98}*48+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon \end{eqnarray*}$

bekommen möchte, stimmts?

so jetzt hab ichs wohl vertanden, da ist mir aber was wesentliches entgangen Augenzwinkern

03.02.2006, 22:03

Mathespezialschüler

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Genau so ist es. Freude