Erwartungswert Lognormalverteilung

25.05.2008, 00:43

makromarko

Erwartungswert Lognormalverteilung

Hallo Leute,

ich stehe vor folgendem Problem: der erwartungswert der lognormalverteilung ist ja bekanntlich
$\begin{eqnarray*} \exp(\mu+\frac{1}{2}\sigma^2) \end{eqnarray*}$

Allerdings ist mir die herleitung nicht ganz klar...

Nehmen wir

$\begin{eqnarray*} Y=\log X \end{eqnarray*}$

und X~normalverteilt, so erhalte ich

$\begin{eqnarray*} E[X] = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left[{y-\frac{1}{2}\left(\frac{y-\mu}{\sigma}\right)^2}\right]dy \end{eqnarray*}$

und um auf den gegebenen Mittelwert zu kommen weiter

$\begin{eqnarray*} = \exp(\mu+\frac{1}{2}\sigma^2) \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left[\frac{\left[y-\sigma^2-\mu\right]^2}{2\sigma^2}\right]dy \end{eqnarray*}$

das habe ich mehrfach nachgerechnet, müsste richtig sein.
Folglich heisst das, dass der integralterm =1 ist.

Wieso ist das so? Weil es im grunde ein -inf +inf integral über eine dichtefunktion mit "abgeändertem" mittelwert ist? (meine damit das -(sigma^2+mu) ) => ist mir gerade beim schreiben aufgefallen Augenzwinkern

hoffe es ist so richtig.

Hoffe mir kann jemand kurz ein Kommentar dazu geben - wie ihr sicher seht bin ich kein Mathematiker, es würde mir also sehr helfen.

Vielen Dank im Voraus jedenfalls.

Marko

25.05.2008, 06:22

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Zitat:

Original von makromarko
Nehmen wir

$\begin{eqnarray*} Y=\log X \end{eqnarray*}$

und X~normalverteilt

Du meinst natürlich

Y~normalverteilt

An der Stelle sollte man des besseren Verständnis wegen Schreibfehler besser unterlassen, auch wenn sie nur einen Buchstaben betreffen!

Zitat:

Original von makromarko
Wieso ist das so? Weil es im grunde ein -inf +inf integral über eine dichtefunktion mit "abgeändertem" mittelwert ist? (meine damit das -(sigma^2+mu) ) => ist mir gerade beim schreiben aufgefallen Augenzwinkern

hoffe es ist so richtig.

Ja, ist richtig: Unterm Integral steht die Dichte der Normalverteilung $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(\mu+\sigma^2,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ , und deren Integral über ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ muss natürlich 1 sein, wie bei jeder Normalverteilung bzw. überhaupt jeder stetigen Verteilung.

25.05.2008, 13:24

makromarko

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yeah, danke!

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