2x Kurvendiskussion mit sin und cos

02.02.2006, 02:30

Circlar

2x Kurvendiskussion mit sin und cos

Hallo,

ich muss zwei komplette Kurvendiskussionen durch führen. Es wäre toll, wenn ihr mir dabei helfen könntet, da ich davon kaum etwas verstehe.

Untersucht werden sollen:

ABleitungen 1-3, Nullstellen, Periodenlänge, Extrenema, Wendepunkte + Krümmungsverhalten, Achsenschnittpunkte, Symetrie, Verhalten im Unendlichen.

1. $\begin{eqnarray*} f(x)=(\cos(x))^2 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} f(x)=\sin(x)(1+sin(x)) \end{eqnarray*}$

Viele Grüße

02.02.2006, 02:33

JochenX

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ja und, dann fang doch einfach mal an...... !?

wo hängt es denn? musterlösungen kriegst du hier nicht....

02.02.2006, 02:57

Circlar

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also die ersten und zweite Ableitung für beide Funktionen habe ich berechnet:

1. Funktion

$\begin{eqnarray*} f'(x)= 2\cos(x)(-sin(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=2(\sin(x))(-\sin(x))+2\cos(x)(-\cos(x)) \end{eqnarray*}$

2. Funktion

$\begin{eqnarray*} f'(x)=cos(x)(1+sin(x))+sin(x)*cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=-sin(x)(1+sin(x))+cos(x)^2+cos(x)^2+sin(x)(-sin(x)) \end{eqnarray*}$

Blos sind die richtig?

Jetzt gehen meine Probleme aber schon los:

Wie bestimme ich die Periodenlänge bei beiden Funktionen.
Wie muss ich bei beiden Funktionen bei der Nullstellenberechnung vorgehen?

02.02.2006, 03:10

JochenX

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Zitat:

Original von Circlar
$\begin{eqnarray*} f'(x)= 2\cos(x)(-sin(x)) \end{eqnarray*}$

stimmt

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=2(\sin(x))(-\sin(x))+2\cos(x)(-\cos(x)) \end{eqnarray*}$

onkel vorzeichenfehler ist leider dabei.....

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=cos(x)(1+sin(x))+sin(x)*cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=-sin(x)(1+sin(x))+cos(x)^2+cos(x)^2+sin(x)(-sin(x)) \end{eqnarray*}$

puuuh bevor ich das nachrechne: schreibe $\begin{eqnarray*} f(x)=\sin(x)(1+sin(x))=sin(x)+sin^2(x) \end{eqnarray*}$ , dann gehts einfacher

Zitat:

Wie bestimme ich die Periodenlänge bei beiden Funktionen.
Wie muss ich bei beiden Funktionen bei der Nullstellenberechnung vorgehen?

peridodenlänge:
erste funktion: cos^2 ist streckung in y-richtung, zusätzlich wird alles positiv (dadurch wiederholt sich alles eine halbe periode früher zur normalen periode), also?
zweite funktion: in der form f=sin+sin^2 kannst du die periode ähnlich wie oben bestimmen

nullstellenberechnung: je f(x)=0 setzen, wann werden produkte 0?

02.02.2006, 13:36

Circlar

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also bei der Periodenlänge habe ich für:

$\begin{eqnarray*} f(x)=sin(x)(1+sin(x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\pi/1 = 2 \pi \end{eqnarray*}$

und für:

$\begin{eqnarray*} f(x)=(cos(x))^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 \pi / B = ? \end{eqnarray*}$

nur wo ist dort das B?

Wie wurde $\begin{eqnarray*} f(x)=sin(x)(1+sin(x)) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} sin(x)+sin(x)^2 \end{eqnarray*}$ umgewandelt?

Durch Ausklammern von sinx erhalte ich nur $\begin{eqnarray*} sin(x)^2+1 \end{eqnarray*}$

02.02.2006, 13:45

JochenX

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Zitat:

Original von Circlar
also bei der Periodenlänge habe ich für:

$\begin{eqnarray*} f(x)=sin(x)(1+sin(x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\pi/1 = 2 \pi \end{eqnarray*}$

ja, aber wieso? begründung?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x)=(cos(x))^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 \pi / B = ? \end{eqnarray*}$

nur wo ist dort das B?

fällt mit obiger begründung gleich mit ab

beachte: addierst du mehrere trigon. funktionen, so bestimmst du die gesamtperiode wie?

Zitat:

Wie wurde $\begin{eqnarray*} f(x)=sin(x)(1+sin(x)) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} sin(x)+sin(x)^2 \end{eqnarray*}$ umgewandelt?

Durch Ausklammern von sinx erhalte ich nur $\begin{eqnarray*} sin(x)^2+1 \end{eqnarray*}$

stichwort ist nicht ausklammern, sondern ausmultiplizieren

02.02.2006, 13:58

Circlar

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also das mit dem ausmultiplizieren habe ich verstanden.

Zitat:

Original von LOED

Zitat:

Original von Circlar
also bei der Periodenlänge habe ich für:

$\begin{eqnarray*} f(x)=sin(x)(1+sin(x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\pi/1 = 2 \pi \end{eqnarray*}$

ja, aber wieso? begründung?

Na ich habe die 1 aus $\begin{eqnarray*} f(x)=sin(x)(1+sin(x)) \end{eqnarray*}$ genommen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x)=(cos(x))^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 \pi / B = ? \end{eqnarray*}$

nur wo ist dort das B?

fällt mit obiger begründung gleich mit ab

Das verstehe ich nicht.

02.02.2006, 19:21

JochenX

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Zitat:

Original von Circlar

Zitat:

Original von LOED

Zitat:

Original von Circlar
also bei der Periodenlänge habe ich für:

$\begin{eqnarray*} f(x)=sin(x)(1+sin(x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\pi/1 = 2 \pi \end{eqnarray*}$

ja, aber wieso? begründung?

Na ich habe die 1 aus $\begin{eqnarray*} f(x)=sin(x)(1+sin(x)) \end{eqnarray*}$ genommen.

welche 1?

korrekte begründung wäre z.b.:
haben wir eine summe aus funktionen mit perioden, dann ist die gesamtperiode das "kgV" der Perioden
bei trigon. funktionen mit periode a*pi und b*pi ist es also kgV(a,b)*pi [z.b. eine hat periode 2pi, die andere 3pi, dann hat die summe 6pi als periode]

nimm nun f(x)=sin^2(x)+sin(x)
welche periode hat sin(x)? 2pi
welche periode hat sin^2(x)? ......

welche also die summe?

02.02.2006, 20:10

Circlar

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Hallo,

ich glaube ich habe mich falsch ausgedrückt. Ich brauche für 2 getrennte funktionen, die Periodenläge jeder einzelnen Funktion.

"welche periode hat sin^2(x)? ......" = $\begin{eqnarray*} 1\pi \end{eqnarray*}$

Bei der Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=sin(x)+sin(x)^2 \end{eqnarray*}$

erhalte ich aus $\begin{eqnarray*} 2\pi/|b| \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 2\pi/1 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ Periodenlänge.

für $\begin{eqnarray*} f(x)=(cos(x))^2 \end{eqnarray*}$

erhalte ich aus $\begin{eqnarray*} 2\pi/|b| \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 2\pi/2 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 1\pi \end{eqnarray*}$ Periodenlänge

02.02.2006, 20:28

JochenX

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jeweils 1*pi als periodenlänge stimmt, belassen wir es dabei

wo hängts nu noch? an den nullstellen!?

02.02.2006, 20:59

Circlar

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Also ich brauche noch die dritte Ableitung:

1. $\begin{eqnarray*} f(x)=(cos(x))^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2*cos(x)*(-sin(x)) \end{eqnarray*}$
? $\begin{eqnarray*} f''(x)=2*(-sin(x))*(-sin(x))+2*cos(x)*(-cos(x)) \end{eqnarray*}$ ?
? $\begin{eqnarray*} f'''(x)= 2(-cos(x))*(-sin(x))+2(-sin(x))*(-cos(x)) + 2(-sin(x))*(-cos(x))+2cos(x)*sin(x) \end{eqnarray*}$ ?

2. $\begin{eqnarray*} f(x)=sin(x)*(1+sin(x)) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} sin(x)+sin(x)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=cos(x)+2*sin(x)*cos(x) \end{eqnarray*}$
? $\begin{eqnarray*} f''(x)=-sin(x)+2*cos(x)^2+2*sin(x)*(-sin(x)) \end{eqnarray*}$ ?
? $\begin{eqnarray*} f'''(x)=-cos(x)+4cos(x)+2cos(x)*(-cos(x)) \end{eqnarray*}$ ?

Mit der Nullstellenberechnung komme ich überhaupt nicht klar.

02.02.2006, 21:03

JochenX

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vereinfache doch bitte erst deine zweiten ableitungen, bevor du fortfährst!
$\begin{eqnarray*} f''(x)=2*(-sin(x))*(-sin(x))+2*cos(x)*(-cos(x))=2*sin^2(x)-2*cos^2(x) \end{eqnarray*}$ und dann siehts wieder gleich viel schöner aus....

die ableitung von deiner zweiten funktion kannst ja teilweise aus der ersten klauen.....

zu den nullstellen: was passiert denn, wenn du deine funktionen einfach mal =0 setzt?

02.02.2006, 21:51

Circlar

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1. $\begin{eqnarray*} f(x)=(cos(x))^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2*cos(x)*(-sin(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=2*(-sin(x))*(-sin(x))+2*cos(x)*(-cos(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2*sin(x)^2-2*cos(x)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=4*sin(x)-4*cos(x) \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} f(x)=sin(x)*(1+sin(x)) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} sin(x)+sin(x)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=cos(x)+2*sin(x)*cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=-sin(x)+2*cos(x)^2+2*sin(x)*(-sin(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2*cos(x)^2-2*sin(x)^2-sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=4*cos(x)-4*sin(x)-cos(x) \end{eqnarray*}$

ist das so richtig?

02.02.2006, 23:43

JochenX

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Zitat:

Original von Circlar
1. $\begin{eqnarray*} f(x)=(cos(x))^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2*cos(x)*(-sin(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=2*(-sin(x))*(-sin(x))+2*cos(x)*(-cos(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2*sin(x)^2-2*cos(x)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=4*sin(x)-4*cos(x) \end{eqnarray*}$

f''' stimmt nicht, hier brauchst du wieder kettenregel, um sin^2, cos^2 abzuleiten
wenn du willst kannst du f'' auch vorher noch mit der einheit sin^2+cos^2=1 umschreiben!

Zitat:

2. $\begin{eqnarray*} f(x)=sin(x)*(1+sin(x)) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} sin(x)+sin(x)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=cos(x)+2*sin(x)*cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=-sin(x)+2*cos(x)^2+2*sin(x)*(-sin(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2*cos(x)^2-2*sin(x)^2-sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=4*cos(x)-4*sin(x)-cos(x) \end{eqnarray*}$

ist das so richtig?

stimmt auch nur bis f'', siehe oben

03.02.2006, 01:48

Circlar

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1. $\begin{eqnarray*} f(x)=(cos(x))^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2*cos(x)*(-sin(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=2*(-sin(x))*(-sin(x))+2*cos(x)*(-cos(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2*sin(x)^2-2*cos(x)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=4*sin(x)*cos(x)-4*cos(x)*(-sin(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = cos(x)-4*cos(x)-4*sin(x)^2 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} f(x)=sin(x)*(1+sin(x)) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} sin(x)+sin(x)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=cos(x)+2*sin(x)*cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=-sin(x)+2*cos(x)^2+2*sin(x)*(-sin(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2*cos(x)^2-2*sin(x)^2-sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=-cos(x)+4*cos(x)*(-sin(x))+2*cos(x)*(-sin(x))+2*sin(x)*(-cos(x)) \end{eqnarray*}$

ist das diesmal so richtig?

03.02.2006, 01:54

JochenX

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Zitat:

jajaja

Zitat:

$\begin{eqnarray*} = cos(x)-4*cos(x)-4*sin(x)^2 \end{eqnarray*}$

neeeeeein

, wieso? nur noch richtig zusammenfassen!
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=4*sin(x)*cos(x)-4*cos(x)*(-sin(x))=4*sin(x)*cos(x)+4*sin(x)*cos(x)=???? \end{eqnarray*}$
einfach die minus hinten verrechnet....

Zitat:

2. $\begin{eqnarray*} f(x)=sin(x)*(1+sin(x)) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} sin(x)+sin(x)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=cos(x)+2*sin(x)*cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=-sin(x)+2*cos(x)^2+2*sin(x)*(-sin(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2*cos(x)^2-2*sin(x)^2-sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=-cos(x)+4*cos(x)*(-sin(x))+2*cos(x)*(-sin(x))+2*sin(x)*(-cos(x)) \end{eqnarray*}$

wie immer du auf diese reihenfolge kommst.....
f''' zusammanfassen analog zu oben

darf ich dir mal den allgemeinen vorschlag unterbreiten, die zweite funktion zu g(x) umzubenennen, damit wir zwischen f(x) und g(x) besser unterscheiden können?

03.02.2006, 02:50

Circlar

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1. $\begin{eqnarray*} f(x)=(cos(x))^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=4*sin(x)*cos(x)-4*cos(x)*(-sin(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 4*(2*sin(x)*cos(x)) \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} g(x)=sin(x)*(1+sin(x)) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} sin(x)+sin(x)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g'''(x)=-cos(x)+4*cos(x)*(-sin(x))+2*cos(x)*(-sin(x))+2*sin(x)*(-cos(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 4*cos(x)-2*cos(x)*cos(x)*(-sin(x))+2*2-sin(x)^2 \end{eqnarray*}$

ist das diesmal so richtig?

03.02.2006, 10:56

JochenX

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Zitat:

Original von Circlar
1. $\begin{eqnarray*} f(x)=(cos(x))^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=4*sin(x)*cos(x)-4*cos(x)*(-sin(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 4*(2*sin(x)*cos(x)) \end{eqnarray*}$

manche leute sagen zu 2*4 auch noch 8 Augenzwinkern

ja f'''=8 sin(x)cos(x) ist dann richtig Freude

Zitat:

2. $\begin{eqnarray*} g(x)=sin(x)*(1+sin(x)) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} sin(x)+sin(x)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g'''(x)=-cos(x)+4*cos(x)*(-sin(x))+2*cos(x)*(-sin(x))+2*sin(x)*(-cos(x)) \end{eqnarray*}$

bis hier, jetzt stehen da hinter dem -cos(x) wieder ganz viele terme mit sin(x)*cos(x), addiere die doch wieder analog zu oben
in erinnerung war das (vom -cos abgesehen) doch auch immer gerade die negative ableitung von f (also kontrollergebnis f'''=-cos(x)-8sin(x)cos(x))

03.02.2006, 15:52

Circlar

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Hallo,

vielen Dank schonmal für die Antworten.

Jetzt brauche ich die Nullstellen und muss dann die Extrema und Wendestellen berechnen.

1. f(x)=(cos(x))^2
f(x)=0
0=(cos(x))^2 | sqr
0=cos(x)
? (bei mir kommt da immer 1 raus, nur das kann es nicht sein)

2. g(x)=sin(x)+(1+sin(x))
= sin(x)+sin(x)^2
g(x)=0
?

Nur jetzt komme ich nicht weiter.

03.02.2006, 15:53

JochenX

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Zitat:

0=cos(x)
? (bei mir kommt da immer 1 raus, nur das kann es nicht sein)

es gilt cos(0)=1, nicht cos(1)=0, also ist x=1 sicher keine lösung deiner gleichung

wann ist denn der kosinus 0?
z.b. für pi/2 ist er es.....

Zitat:

g(x)=sin(x)[B]+(1+sin(x))

* statt +!
belass es hierzu bei dieser form
wann wird denn ein produkt 0?

03.02.2006, 16:19

Circlar

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also

0=cos(x) / Shift cos im TR
x=1,57 = 1/2 pi + k*pi
mein Problem war wohl, das ich mit DEG (90) statt mit RAD gerechnet habe.

zu g(x) habe ich keine Ahnung wie ich da de Nullstelle berechnen soll.
Lösungsverfahren = ?

03.02.2006, 18:01

JochenX

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Zitat:

x=1,57 = 1/2 pi + k*pi

gnarz, wenn du einfach nur x=(1/2+k)*pi oder wegen mir 1/2pi+k*pi schreibst okay
aber 1,57 oder noch schlimmer 1,57=1/2pi+k*pi will ich da nicht sehen!

stimmt schon mal!

sin(x)*(1+sin(x))=0
und nochmal meine frage: wann ist ein produkt 0?

06.02.2006, 09:47

Circlar

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Ich habe das Ganze jetzt mal durchgerechnet und bin zu folgenden Lösungen gekommen:

f(x)=sinx(1+sin(1))

Definitionsbereich: xER
Wertebereich: -0,25<-y<-2

Nullstellen:

x1= 0 + k*pi
x2= 3/2pi + k*2pi

Extrema:

xe1= pi/2 + k*pi
xe2= 3/2pi + k*pi
xe3= 11/6pi + k*2pi
xe4= 7/6pi + k*2pi

HP (pi/2 + k*2pi ; 2)
HP2 ( 3/2pi + k*2pi ; 0)
TP (11/6pi + k*2pi ; -1/4)
TP2 (7/6pi + k*2pi ; -1/4)

Wendestellen:

xw1= 0,635 + k*2pi
xw2= 5,28 + k+2pi
xw3= 2,5 + k*2pi
xw4= 4,14 + k*2pi

WP1= 0,635 +k*2pi ; 0,945
WP2= 5,28 +k*2pi ; -0,13
WP3= 2,5 +k*2pi ; 0,96
WP4= 4,14 +k*2pi ; -0,13

g(x)=(cos(x))^2

Definitionsbereich: xER
Wertebereich: 0<-y<-1

Nullstellen:

x= 1/2pi +k*pi

Extrema:

xe1= 0+k*pi
xe2= 1/2pi +k*pi

HP (0+k*pi ; 1)
TP (pi/2+k*pi ; 0)

Wendestellen:

x1= +-1/4pi +k*pi

WP1= 1/4pi +k*pi ; 1/2
WP2= -1/4pi +k*pi ; 1/2

Mein großes Problem ist jetzt noch, wie ich die Symetrie und das Verhalten im Undendlichen bei beiden Funktionen bestimme. Davon habe ich keine Ahnung.

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