Integrationsproblem

02.02.2006, 15:51

Grishnikov

Integrationsproblem

Hallo Leute,

Ist mein erster Beitrag hier, also entschuldigt bitte eventuelle Formfehler.

Muss folgenden Integral für den Bereich 1,5 - 1 bis morgen berechnen, habs aber immer noch nicht raus (probier seit paar Tagen daran rum). Mein Lehrer hats selbst nicht geschafft, hab also ne Wette abgeschlossen dass ich's hinkrieg... Und nun steh ich da... hier ist das Integral:
$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{1,5}~\frac{1}{x^{2}*\sqrt{4-x^{2}}}~dx \end{eqnarray*}$
Jedenfalls hab ich alles probiert, substituieren, den Phönix, partielle integration, kriegs nicht hin. Hab aber durch ausprobieren ne Lösung gefunden, falls es hilft:
$\begin{eqnarray*} \frac{-\sqrt{4-x^{2}}}{4x} \end{eqnarray*}$
Hoffe ich irre mich wenigstens da nicht (habs aber paar mal abgeleitet, dürfte stimmen. Ok, ich bin für jede Hilfe dankbar, werde heute immer wieder hier vorbeischauen. Gerne auch an meine E-mail:
[email protected]

Danke schonmal!!!

02.02.2006, 16:00

riwe

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RE: Integrationsproblem
einmal I partiell integrieren (nach der wurzel)
$\begin{eqnarray*} I=-\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{2x}- I \end{eqnarray*}$
werner

edit: da ist (leider) ein vorzeichenfehler drin, s. unten

02.02.2006, 16:03

klarsoweit

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RE: Integrationsproblem
Wenn ich richtig rechne, ist $\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{-\sqrt{4-x^{2}}}{4x} \end{eqnarray*}$ keine Stammfunktion.

EDIT: Habe falsch abgeleitet. traurig

Also ich behaupte das Gegenteil.

02.02.2006, 16:04

Grishnikov

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RE: Integrationsproblem
Wie? also erst part. nach der "Phönix" methode, dann I rüberziehn (zu 2I) und.... ? "Nach der Wurzel"= ??
sorry, habs noch nicht verstanden

02.02.2006, 16:06

Grishnikov

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RE: Integrationsproblem

Zitat:

Original von klarsoweit
Wenn ich richtig rechne, ist $\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{-\sqrt{4-x^{2}}}{4x} \end{eqnarray*}$ keine Stammfunktion.

sicher? Was kommt bei dir dafür raus? Nirgends verrechnet? Naja, auch wenn, die Lösung brauch ich ja gar nicht so dringend, ich weiß nur nicht welchen weg ich benutzen muss. dachte aber trotzdem dass es die Lösung wäre

02.02.2006, 16:42

Grishnikov

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RE: Integrationsproblem

Zitat:

Original von wernerrin
einmal I partiell integrieren (nach der wurzel)
$\begin{eqnarray*} I=-\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{2x}- I \end{eqnarray*}$
werner

Ok, hab wieder bissl weiter rumprobiert, glaub ich versteh jetzt was du meinst. Wie integriere ich denn die Wurzel, also nur 1 durch blablabla ohne das x^2 davor?

02.02.2006, 17:14

riwe

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RE: Integrationsproblem
@klarsoweit: ich denke schon, zumindest mit meinen "differenzierkünsten",aber ich verrechne mich laufend.
@grish.. $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{\sqrt{x}}~dx =C\cdot \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
und wenn du jetzt noch die innere ableitung der wurzel und die ableitung von x^(-2) berücksichtigst, erhält man wieder - I.
soferne das tatsächlich eine stammfunktion ist, siehe klarsoweit
alles klar?
werner

was ist die phönixmethode?

02.02.2006, 17:24

Grish

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RE: Integrationsproblem

Zitat:

Original von wernerrin
@klarsoweit: ich denke schon, zumindest mit meinen "differenzierkünsten",aber ich verrechne mich laufend.
@grish.. $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{\sqrt{x}}~dx =C\cdot \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
und wenn du jetzt noch die innere ableitung der wurzel und die ableitung von x^(-2) berücksichtigst, erhält man wieder - I.
soferne das tatsächlich eine stammfunktion ist, siehe klarsoweit
alles klar?
werner

was ist die phönixmethode?

noch nicht so ganz klar...
die ableitung von sqrtx ist ja schon klar, C wäre ja dort einfach 2. Wie komme ich aber hier auf C? Durch ausprobieren? Hier macht mir das nachdifferenzieren probleme, weil ich den Teil (z.B. -2x) wegbekommen muss, aber durch ein zusätzliches - 1/2x sich die Ableitung ja komplett verändern würde. Wie komme ich also auf C? Sorry wegen der ganzen Fragerei...

Die "Phönixmethode" nennen wir (wir = kleine unwissende Schüler) es wenn ein Integral wieder auftaucht (aus der "Asche" entsteht) und dann rübergenommen werden kann. Darauf läuft es ja dann auch hier hinaus, oder? I = cw - I -> 2I = cx -> I = cx/2

02.02.2006, 17:29

Lazarus

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um ans C zu kommen ist Raten meist die schnellste Methode, da mit ein bisschen übung genügend Erfahrung vorhanden ist, um auf einen Blick zu sehn, was wohl für ein Faktor stehn muss.

Vorgehensweise ist allerdings einfach die Stammfunktion zu differenzieren.
Denn nach HDI gilt: F'=f ...

phönixmethode klingt cool Augenzwinkern

dann mal rann hier Augenzwinkern

02.02.2006, 17:32

Grish

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Zitat:

Original von Lazarus
Vorgehensweise ist allerdings einfach die Stammfunktion zu differenzieren.
Denn nach HDI gilt: F'=f ...

Ich hab doch die Stammfunktion nicht. Ich suche das Integral von dem allerobersten Term, allerdings ohne das erste x^2, also von "1/Wurzel(4-x^2)

Wie, muss ich jetzt also anfangen zu raten? *wein*

02.02.2006, 18:17

grish

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Ok, hab was neues:
wenn ich substituiere, und zwar u = Wurzel((4-x^2)/x^2)), dann geht alles wunderbar auf. Aber, wie forme ich den Term oben

so um, dass ich u einsetzen kann?

02.02.2006, 19:12

klarsoweit

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Zum Verständnis: du substituierst $\begin{eqnarray*} u = \sqrt{\frac{4-x^2}{x^2}} = \frac{\sqrt{4-x^2}}{x} \end{eqnarray*}$
Das Integral umformen, ist eigentlich nicht das Problem:
$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{1,5}~\frac{1}{x^2 \cdot \sqrt{4-x^2}}~dx = \int_{1}^{1,5}~\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x^2 \cdot (4-x^2)}~dx \end{eqnarray*}$

Du mußt natürlich auch das dx ersetzen, das habe ich mir jetzt nicht angeschaut.

02.02.2006, 19:33

grish

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für dx bekomm ich jetzt ziemlichen Schmarrn raus.... mit dz/dx = z' (also abgeleitet) bringt die Substitution nichts. Ist der Ansatz falsch? Wie ersetze ich dx richtig?

03.02.2006, 06:26

riwe

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substituiere x = 2sin(t), dx = 2cos(t), dann hast du:
$\begin{eqnarray*} I=\int_{}^{}~\frac{2cos(t)}{4sin^{2}(t)\cdot2cos(t)}~dt= \end{eqnarray*}$
das ist ein elementares integral
$\begin{eqnarray*} -\frac{cot(t)}{4}=-\frac{cos(t)}{4sin(t)}=-\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{4x} \end{eqnarray*}$
werner

(ich fürchte, bei der partiellen integration hat sich ein vorzeichenfehler eingeschlichen, auch wenn das ergebnis stimmt)

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