Fourierreihenentwicklung f(x)=x²

Neue Frage »

02.02.2006, 16:51	grohl	Auf diesen Beitrag antworten »
Fourierreihenentwicklung f(x)=x² hallo, Wir haben die schöne Aufgabe bekommen: Man zerlege $\begin{eqnarray} f(x)=x^2 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} (0,\pi) \end{eqnarray}$ in eine Cosinusreihe (auf die Aufgabe gibt es 4 Punkte) ich denke ja, dass mit Cosinusreihe $\begin{eqnarray} cosx=1-\frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!}...=\sum_{n=0}^\infty ~{(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}} \end{eqnarray}$ gemeint ist, weiß nur leider nicht was ich nun machen muß. kann mir bitte jemand helfen?
02.02.2006, 16:55	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenzerlegung Ich denke eher, dass hier die Fourierreihenentwicklung gemeint ist. (Dabei bechte man, dass die gegebene Funktion eine gereade Funktion ist).
02.02.2006, 17:24	grohl	Auf diesen Beitrag antworten »
mein problem ist nun, dass im tafelwerk nur die fourrierentwicklung periodischer funktionen beschrieben ist, x² aber nicht periodisch ist. habe noch folgende formel aufgetrieben, kann ich damit etwas anfangen? $\begin{eqnarray} f(t)=\frac{1}{\pi} +\frac{2}{\pi}(\picos(\frac{2\pit}{T})+\frac{1}{13}cos(2\frac{2\pit}{T})+\frac{1}{35}cos(4\frac{2\pit}{T})+... \end{eqnarray}$
02.02.2006, 17:25	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Schaust du hier.
02.02.2006, 18:03	grohl	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, habs mir durchgelesen und bin auf folgendes gekommen: $\begin{eqnarray} f(x)=x^2 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} (0,\pi) \end{eqnarray}$ c= 0 T= $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ w=2 $\begin{eqnarray} a_0= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi}~x^2~dx = \frac{2}{3}\pi^2 \end{eqnarray}$ b_n=0, da f gerade -> $\begin{eqnarray} a_n= \frac{4}{\pi}\int_{0}^{{c+0.5\pi}}x^2cos(n2t)~dt \end{eqnarray*}$ ist das soweit richtig?
02.02.2006, 18:09	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, leider nicht. Bei $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ handelt es sich sicher um einen Schreibfehler (es muss $\begin{eqnarray} \pi^3 \end{eqnarray}$ heißen). Und bei $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ muss man $\begin{eqnarray} f(t) \end{eqnarray}$ einsetzen, also nicht $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ , sondern $\begin{eqnarray} t^2 \end{eqnarray}$ . Ansonsten bist du auf dem richtigen Weg. Edit: Und das c in der oberen Integrationsgrenze von $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ muss weg.
Anzeige

02.02.2006, 18:14	grohl	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \pi^3 \end{eqnarray}$ ? wieso? die rechnung ist doch: $\begin{eqnarray} a_0=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x^2~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{2}{\pi}[\frac{1}{3}x^3]_0^{\pi} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{2}{\pi}(\frac{1}{3}\pi^3)=\frac{2}{3}\pi^2 \end{eqnarray}$
02.02.2006, 18:16	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, mein Fehler ... hast natürlich recht! Beachte auch mein Edit im letzten Post!
02.02.2006, 18:22	grohl	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, danke für die hinweise. muss ich jetzt bei $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ n etwas bestimmtes einsetzen und muss ich beim endergebnis wieder f(t) oder f(x) schreiben? f(t), oder?
02.02.2006, 18:32	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Ob du das Argument von f t oder x nennst, kannst du halten wie ein Dachdecker. Wichtig ist dass die Bezeichnung konsequent durchgehalten wird (z.B. bei der zu integrierenden Variable, also bei $\begin{eqnarray} dt \end{eqnarray}$ ). Das n bleibt n. Nun noch Das Integral ausrechnen und versuchen es hinter ein Summen- bzw. Reihenzeichen zu bekommen.
02.02.2006, 19:06	grohl	Auf diesen Beitrag antworten »
jetzt hänge ich endgültig. $\begin{eqnarray} a_0= \frac{4}{\pi} \int_{0}^{{\pi/2}}~(x^2cos(2nx))~dx \end{eqnarray*}$ zu integrieren bekomme ich nicht hin. das wird wegen der 2. variable auch nix mit integrals.wolfram.com nix. bei partieller integration kommt sicher auch irgend ein horrorausdruck raus gibts nicht noch irgendeine andere möglichkeit auf ein endergebnis zu kommen?
02.02.2006, 19:13	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab mal in eine Integraltabelle geschaut und das hier gefunden: $\begin{eqnarray} \int x^2 \cos(ax) dx = \frac{2x}{a^2}\cos(ax)+\left(\frac{x^2}{a} - \frac{2}{a^3}\right)\sin (ax) \end{eqnarray}$
02.02.2006, 19:16	grohl	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank, in meinem eigentlich guten tafelwerk steht es nicht. wünsche dir noch eine schönen abend, hast mir sehr geholfen.
02.02.2006, 19:43	grohl	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt das? $\begin{eqnarray} a_0=\frac{4}{\pi}\int_0^{{\pi}/2}(x^2cos(2nx))~dx \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{4}{\pi}[\frac{2x}{4n^2}cos(2nx)+(\frac{x^2}{2n}-\frac{2}{8n^3})sin(2nx)]_0^{{\pi}/2} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{4}{\pi}[\frac{\pi}{4n^2}cos(n\pi)+(\frac{\pi}{8n}-\frac{2}{8n^3})sin(n\pi)] \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{4cos(n\pi)\pi-sin(n\pi)+0.5\pin^2sin(n\pi)}{4n^3} \end{eqnarray}$
03.02.2006, 10:26	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe das nicht im einzelnen nachgerechnet, aber es sieht ganz gut aus. Jetzt würde ich noch aus dem sin ein cos machen (Phasenverschiebung) und natürlich noch das Reihenzeichen davorschreiben. Editd: Du meinst bestimmt $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ anstelle von $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Fourierreihenentwicklung f(x)=x²

Verwandte Themen