unabhängig gleichverteilt

02.02.2006, 17:45

DerGast

unabhängig gleichverteilt

Hi Leute,
kann mal bitte jemand schaun, ob dass so richtig ist.

Auf einer Party sind 20 Personen anwesend. Nehmen sie an, deren Geburtstage seien unabhängig gleichverteilt. Wie groß ist die Wahrschienlichkeit, dass mindestens 2 der 20 Personen am gleichen Tag Geburtstag haben ?

Anzahl der "Pärchen": $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 20 \\ 2 \end{pmatrix}~=~\frac{20!}{2!*18!}~=~190 \end{eqnarray*}$

Wahrscheinlichkeit: $\begin{eqnarray*} \frac{190}{365*365} \end{eqnarray*}$

02.02.2006, 17:50

Dual Space

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RE: unabhängig gleichverteilt
Nein, das ist falsch. Die Wahrscheinlichkeit bei 20 Personen dürfte so um die 90% liegen.

Edit: Bitte nagelt mich nicht an den 0,9 fest. Hab das nicht nachgerechnet, aber sie ist definitiv größer als 0,5.

Tipp: Versuchs mal über die bedingte Wahscheinlichkeit. Wink

Nachtrag: Abakus hat es nachgerechnet (siehe unten). Und die Wkt ist doch kleiner als 0,5!

02.02.2006, 18:47

DerGast

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Ich dacht ich hätte die bedingte Wahrscheinlichkeit angewendet.

Wikipedia: Wenn A und B stochastisch unabhängig sind, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \Rightarrow P(A|B) = P(A) \end{eqnarray*}$

Angenommen es ginge insgesammt um 2 Personen:

$\begin{eqnarray*} P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)~=~\frac{1}{365}*\frac{1}{365} \end{eqnarray*}$

Richtig soweit ?

Wenn ja dann müsste mein Ergebniss oben stimmen

02.02.2006, 18:55

Dual Space

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Was sind denn bei dir die Ereignisse A und B?

02.02.2006, 18:59

Abakus

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RE: unabhängig gleichverteilt
Ohne die Angabe, was A und B für Ereignisse sein sollen (Definition), macht es wenig Sinn, die Formeln zu diskutieren. Prinzipiell aber richtig hingeschrieben.

Zuerst solltest du deine Ereignisse, die du betrachtest, exakt definieren. Dann kannst du ggf. Formeln dafür hinschreiben. Für diese Aufgabe ist die Betrachtung der Komplementärwahrscheinlichkeit eine gute Idee.

zu deiner Rechnung: mindestens 2 Personen haben denselben Geburtstag könnte ja zB bedeuten, dass 3 und einmal 4 oder sogar alle denselben Geburtstag haben. Solche Fälle sind bei dir nicht berücksichtigt.

Bei 20 Personen solltest du auf 41% kommen, 90% werden erst ab 41 Personen erreicht.

Grüße Abakus smile

02.02.2006, 20:27

DerGast

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Ok ich raffs einfach nicht. Ich hab mir jetzt schon ein paar Beispiele angeschaut. Unter anderem auch das hier.

Aber die Wahrscheinlichkeit, das eine Person Geburtstag hat wird doch wohl

hoffentlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{365} \end{eqnarray*}$ sein. Augenzwinkern

Und wenn ich A z.B als "Person A die Geburtstag hat"
definier und B als "Person B die Geburtstag hat",
dann komm ich bei P(A) und P(B) immer wieder auf dasselbe Ergebniss. Also wo liegt mein Denkfehler Hilfe

02.02.2006, 21:51

Teutone

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Naja die Herangehensweise ist einfach ungünstig, da du so wie schon von Abakus erwähnt wurde, du viele Fälle vergisst. Rechne lieber die Komlementärwahrscheinlichkeit aus, mit der niemand am gleichen Tag Geburtstag hat.
Also: $\begin{eqnarray*} 1*\frac{364}{365}*\frac{363}{365}*\frac{362}{365}*... \end{eqnarray*}$

03.02.2006, 01:18

Abakus

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Zitat:

Original von DerGast
Aber die Wahrscheinlichkeit, das eine Person Geburtstag hat wird doch wohl
hoffentlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{365} \end{eqnarray*}$ sein. Augenzwinkern

Ja, aber das nützt dir nichts.

Zitat:

Das liegt an einem nicht genügend definierten Umfeld. Was ist dein W-Raum, d.h. welche Menge von Ereignissen betrachtest du? Und an der Wahrscheinlichkeit von welchen Ereignissen bist du in diesem W-Raum interessiert?

Betrachte zB:

Sei $\begin{eqnarray*} \Omega := \{(x, y) : 1 \leq x, y \leq 365\} \end{eqnarray*}$ und P sei die Gleichverteilung auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} P(\{(x, y)\} = \frac{1}{365^2} \end{eqnarray*}$ .

Soweit gut. Das Ereignis "A und B haben am selben Tag Geburtstag" stellt sich nun wie folgt dar:

$\begin{eqnarray*} E_{AB} = \{(x, y) \in \Omega : x=y\} \end{eqnarray*}$ .

Dieses Ereignis besteht aus 365 Elementarereignissen. Damit gilt demnach:

$\begin{eqnarray*} P(E_{AB}) = \frac{365}{365^2} = \frac{1}{365} \end{eqnarray*}$ .

Grüße Abakus smile

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