Notwendige und Hinreichende Bedingung |
| 02.02.2006, 18:21 | Body1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Notwendige und Hinreichende Bedingung |
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| 02.02.2006, 18:28 | marci_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
die brauchst du zb bei der berechnung von extrem bzw wendestellen... bei extrema: notwendige bedingung: f '(x)=0 hinreichende bedingung: f''(x) > oder < 0 bei wendestellen notw. b. f '' (x) =0 hinreich. b. f '''(x) ungleich 0 |
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| 02.02.2006, 18:38 | anna_lyse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
in der anwendung sind sie auch so zu verstehen, dass wenn die notwendige bedingung erfüllt ist, man noch auf die hinreichende überprüfen muss. ist die notwendige bedingung nicht erfüllt, dann kann man sich die hinreichende gleich sparen... bei der hinreichenden bedingung muss man nicht unbedingt die nächste ableitung bilden, man kann auch anhand des vorzeichenwechsels ablesen, ob ein extrempunkt vorliegt oder nicht... gibt sicherlich genug beispiele hier im forum, wie zB die extremalstellen abgelesen bzw errechnet werden. |
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| 02.02.2006, 18:39 | Body1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
habe ich das richtig verstanden: nach dem man die x werte ausgerechnet habe muss ich es in die erste und zweite ableitung einsetzen??? @anna_lyse was meinst du mit vorzeichenwechsels ablesen??? |
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| 02.02.2006, 18:59 | marci_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
bei extrema setzt du f' (x) gleich null..dann bekommst du ein(oder mehrere x-werte heraus, die du dann in f '' (x) einsetzt |
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| 02.02.2006, 22:15 | 4c1d | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn A eine notwendige Bedingung für B ist, dann bedeutet das ganz einfach, dass A aus B folgt (aber nicht unbedingt umgekehrt). Ist andererseits A hinreichende Bedingung für B, dann folgt B aus A (genauso nicht unbedingt umgekehrt). Warum man dafür unbedingt neue Formulierungen erfinden musste, weiß ich auch nicht. Im Zusammenhang mit lokalen Extremstellen heißt das : Ist die Funktion f differenzierbar an der Stelle x und besitzt dort eine lokale Extremstelle, dann ist f'(x)=0. sowie Ist die Funktion f zweimal differenzierbar an der Stelle x und gilt f'(x)=0 und f''(x)0, dann besitzt sie dort eine lokale Extremstelle. |
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| 02.02.2006, 22:24 | zeta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@marci: falsch: hinreichende bedingung lautet f'=0 UND f'' ungleich 0 (für extrema) mal ganz platt: notwendig: kann, muss nicht hinreichend: ist, aber falls nicht, kann trotzdem bei extremstellen also: notwendig: alle x, die f'(x)=0 erfüllen KÖNNEN Extremstellen sein, müssen aber nicht (vgl.z.B. eine parallel zur x-Achse verlaufende Gerade oder auch z.B. f(x)=x^3, f(x)=x^5 etc.) hinreichend: wenn diese bedingung erfüüplt ist, also für ein x_0 gilt f'(x_0)=0 und f''(x_0) ungleich 0, so ist bei x_0 auf jeden Fall ein Extremstelle. ABER: x_1 kann auch Extremstelle sein, ohne dasss die hinreichende Bedingung erfüllt ist, vgl. z.B. f(x)=x^4 mit x_1=0. |
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| 02.02.2006, 23:01 | Teutone | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also wie war das, ist es auch hinreichend, wenn und irgendeine andere Ableitung ungleich Null ist? |
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| 02.02.2006, 23:10 | zeta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja nu, mit solchen veralltaglichungen sollte man eben vorsichtig sein... sie kann auch ohne führerschein fahren... etc. auch das übliche "wenn es regnet, wird die straße naß" beispiel ist natürlich voll lücken, weil außerhalb der mathematik (bzw. ihr die sprache liefernden logik) eben nur selten von konsequenzen die rede sein dürfte |
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| 02.02.2006, 23:28 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Irgendeine andere Ableitung ist nicht ganz richtig. Beispiel f(x)=x^3. Da sind zwei von "irgendwelchen Ableitungen" gleich null für x=0, doch von einer Extremstelle ist keine Spur. Man kann in dem Fall, das "einige" Ableitungen gleich 0 sind, auch n mal ableiten und untersuchen, für welches n endlich ein Konstanter Wert herrauskommt. Ist n gerade, liegt eine Extremstelle vor. Ist n ungerade, Handelt es sich aller Wahrscheinlichkeit nach um einen Sattelpunkt. Leichter ist allerdings oftmals eine Vorzeichenuntersuchung an der Nullstelle der ersten Ableitung. Denn dieser Vorzeichenwechsel (bzw. der Nicht~) ist ja eigentlich das entscheidente... |
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