Reihe des Tangens

25.05.2008, 16:14	Kalle8	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihe des Tangens Hallo, ich soll für die Reihe des Tangens, also $\begin{eqnarray} \tan z = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n z^n \end{eqnarray}$ folgendes zeigen: (a) $\begin{eqnarray} a_{2n} = 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ (b) $\begin{eqnarray} a_1 = 1 \end{eqnarray}$ (c) $\begin{eqnarray} a_{2n + 1} - \frac{{a_{2n - 1} }}{{2!}} + \frac{{a_{2n - 3} }}{{4!}} + \ldots + \left( { - 1} \right)^n \frac{{a_1 }}{{\left( {2n} \right)!}} = \frac{{\left( { - 1} \right)^n }}{{\left( {2n + 1} \right)!}} \end{eqnarray}$ . Ich hab erstmal folgendes gemacht: $\begin{eqnarray} \tan z \cos z = \sin z \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} \sum\nolimits_{k = 0}^\infty {a_k z^k } \cdot \sum\nolimits_{k = 0}^\infty {\left( { - 1} \right)^k \frac{{z^{2k} }}{{\left( {2k} \right)!}}} = \sum\nolimits_{k = 0}^\infty {\left( { - 1} \right)^k \frac{{z^{2k + 1} }}{{\left( {2k + 1} \right)!}}} \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} \sum\nolimits_{k = 0}^\infty {\sum\nolimits_{n = 0}^k {a_n z^n \left( { - 1} \right)^{k - n} \frac{{z^{2\left( {k - n} \right)} }}{{\left( {2k - 2n} \right)!}}} = \sum\nolimits_{k = 0}^\infty {\left( { - 1} \right)^k \frac{{z^{2k + 1} }}{{\left( {2k + 1} \right)!}}} } \end{eqnarray}$ . Jetzt müsste ich doch Koeffizientenvergleich machen. Aber wie komme ich auf die Resultate, die ich zeigen muss?
25.05.2008, 18:58	Kalle8	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat hier keiner eine Idee dazu?
25.05.2008, 19:40	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a_n = \tan^{(n)}(0) = \frac{d^n}{dz^n}\frac{\sin}{\cos}(0). \end{eqnarray}$ EDIT: Zuallererst sollte man sich übrigens klarmachen, dass der Tangens tatsächlich im Kreis mit Radius pi/2 um Null in eine Potenzreihe entwickelbar ist.
25.05.2008, 19:48	Kalle8	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das haben wir schon gemacht... Wir sollen die Aufgabe mit Koeffizientenvergleich lösen.
25.05.2008, 20:04	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
(a) Der Tangens ist eine ungerade Funktion. (b) Einfach ausrechnen, entweder über deine Rechnung oder mit Webfritzis Formel (c) Hier ist dein Ansatz schon gut. Ich vertausche aber mal dein $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , damit das $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ das gleiche ist wie in der Aufgabenstellung. Außerdem multipliziere ich genau andersherum aus (deine Summe bekommst du durch "Umdrehen" der Laufreihenfolge des Index') und des Weiteren sollte man natürlich auch (a) schon nutzen: $\begin{eqnarray} \left(\sum_{i=0}^{\infty}~\frac{(-1)^i}{2i!}z^{2i}\right)\cdot \left(\sum_{j=0}^{\infty}~a_{2j+1}z^{2j+1}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}~\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty}~\left(\sum_{k=0}^{2n+1}~a_{2n+1-2k}z^{2n+1-2k}\cdot \frac{(-1)^k}{(2k)!}z^{2k}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}~(-1)^n\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{eqnarray}$ . Du sagst es ja schon richtig: Mach einen Koeffizientenvergleich! Dazu musst du die linke Seite nur etwas vereinfachen und besser nach Potenzen von $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ ordnen.
25.05.2008, 20:58	Kalle8	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für Eure Hilfe...
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