Integration von e^x

02.02.2006, 20:44

twoface

Integration von e^x

Wir müssten als Hausaufgabe folgende Funktionen Aufleiten( integrien), aber in der Schule nennen wir es Aufleiten Lehrer

!)

f(x) = e^3x

da habe ich als Lösung F(x) = 1/3*3x e^x

f(x) = e^-4x +2

da habe ich als Lösung F(x) = -1/4 *4x+2x e^x

Nun möchte ich gern wissen warum man bei den Exponentialfunktionen bei der Aufleitung nur die Zahl im Exponeten aufleitet und die e-funktion gleich bleibt !

PS: Habe ich überhaupt richitg gerechnet, denn der Lehrer gab uns die Aufgabe und sagte probiert mal aus ob ihr die richtige Aufleitung erhält

02.02.2006, 20:47

JochenX

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hmm, nein, du hast zu kompliziert gedacht
du musst hier nur die "umgekehrte kettenregel" nehmen, da deine inneren funktionen linear sind

insbesondere solltest du aber KLAMMERN setzen oder den formeleditor (latex) nutzen

Zitat:

f(x) = e^-4x +2

was ist das? $\begin{eqnarray*} f=e^{-4x}+2 \end{eqnarray*}$ denke ich mal
oder doch eher $\begin{eqnarray*} f=e^{-4x+2}, f=e^{-4}*x+2 \end{eqnarray*}$
?

02.02.2006, 20:55

twoface

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das ist eher das zweite von dir, bekomme das aber auf dem Editor net hin ! Muss ich da die Kettenregel anwenden hä?

02.02.2006, 21:00

JochenX

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also $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{-4x+2} \end{eqnarray*}$

code:
1:	[latex]f(x)=e^{-4x+2}[/latex]

die "umgekehrte kettenregel":
es gilt: h(x)=f(ax+b) ableiten bekommst du h'(x)=a*f'(ax+b), also diesen konstanten faktor aus der inneren ableitung, die äußere funktion dann einfach ableiten

beim aufleiten musst du bei solchen fällen dagegen eins durch die innere ableitung rechnen, dazu dann die äußere funktion als ganzes aufleiten
also so ala $\begin{eqnarray*} g(x)=f(ax+b) => G(x)=\frac{1}{a}*F(ax+b) \end{eqnarray*}$
nachvollziehen kannst du das, wenn du einfach G(x) wieder ableitest!

versuchs mal bei dir anzuwenden, bedenke, die e-funktion wid zur e-funktion aufgeleitet!

mfg jochen

ps: wer möchte ersetze "aufleiten" durch "integrieren"

02.02.2006, 21:03

twoface

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erstmal danke für die mühe so wie ich dich verstanden habe ist das so

f(x) = $\begin{eqnarray*} e^{3x} \end{eqnarray*}$

F(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}* e^{3x} \end{eqnarray*}$

oda !

PS: Danke für die mühe

02.02.2006, 21:06

JochenX

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so und nu?

äußere funktion ist die e-funktion, innere funktion diese lineare "stör"funktion 3x
damit die eben nicht stört, machst du nun genau das, was ich gesagt habe

"außen normal aufleiten" (also e-funktion stehenlassen) *1/innere ableitung

edit zum edit: JA! Freude

02.02.2006, 21:13

babelfish

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RE: Aufleitung von e^x
=> verschoben!

02.02.2006, 21:14

twoface

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also aüßere stehen lassen mal 1/ innere Ableitung

= $\begin{eqnarray*} e^x * \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

oda?

Sorry verständins via Forum ist für mich oft schwer

02.02.2006, 21:21

JochenX

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Zitat:

Original von twoface
f(x) = $\begin{eqnarray*} e^{3x} \end{eqnarray*}$

F(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}* e^{3x} \end{eqnarray*}$

das war schon richtig

das "3x" ist innenfunktion, also 1/3 davor
gesamte funktion ist f=e^(innenfunktion), e-funktion bleibt komplett stehen
also hast du F=1/3*e^(innenfunktion)

also ist e^(3x) schon richtig!

02.02.2006, 21:29

twoface

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jehuuu! also wäre das bei diesem beispiel so :

f(x) = $\begin{eqnarray*} e^{-4x+2} \end{eqnarray*}$

F(x) = $\begin{eqnarray*} e^{-4x+2}* \frac{1}{-4} \end{eqnarray*}$ ???

02.02.2006, 21:31

JochenX

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ja, verifizier deine stammfunktionen doch durch ableiten.....
stimmt...

beachte: das geht nur, wenn die innenfunktion LINEAR ist

02.02.2006, 21:36

twoface

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wie meinst du da nur wenn die linear sind ?

und ich habe noch ne Frage, kannst du mir Erläuern warum man bei so einer Aufleitung dieses Prozedere macht, damit ich es auch erklären kann !

Vielen Dank

02.02.2006, 21:46

JochenX

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wie schon gesagt leite doch mal ab!
F(ax+b)=f(ax+b)*a nach kettenregel!

sei die innere funktion nicht linear: $\begin{eqnarray*} f=e^{x^2} \end{eqnarray*}$ z.b.
versuchen wir hier $\begin{eqnarray*} F=1/(2x)*e^{x^2} \end{eqnarray*}$ und leiten das zu probe ab, merken wir was hakt: ist die innenfunktion nicht linear gewesen, ergo die ableitung keine zahl, dann kommt beim probeableiten die produktregel ins spiel und die ableitung der "stammfunktion" entspricht so gar nicht der ausgangsfunktion.... ergo, falsch aufgeleitet

02.02.2006, 21:56

twoface

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also wenn ich jetzt bsp

F(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}* e^ {3x} \end{eqnarray*}$ ableite

so wird ja das 1/3 weg fallen und bei dem rest muss ich kettenregel anwenden also aüßere´(v(x))* v´(x)

aber mit der Kettenregel ahbe ich so meine problem also ic würde das raus bekommen : $\begin{eqnarray*} e^3*(3x)*3 \end{eqnarray*}$ was mache ich falsch ??

02.02.2006, 22:08

speedyschmidt

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ich hab mal ne Frage:

Ist $\begin{eqnarray*} e^{x^{2}} \end{eqnarray*}$ eigentlich eindeutig???

Da kann man doch $\begin{eqnarray*} e^{(x^{2})} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (e^{x})^{2} \end{eqnarray*}$ reininterpretieren, oder???

02.02.2006, 23:41

JochenX

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das 1/3 fällt nicht einfach weg! es bleibt erstmal als faktor ERHALTEN
für die (e^(3x))' brauchst du aber kettenregel: das ist äußere mal innere ableitung
es gilt somit: $\begin{eqnarray*} (e^{3x})'=3e^{3x} \end{eqnarray*}$ und das 3 hebt sich dann mit dem 1/3 weg!

grob gesagt gilt:
beim auf/ableiten von solchen funktionen muss nur auf den vorfaktor geschaut werden, denn die innere ab/aufleitung bringt nur einen faktor ins spiel (da LINEAR).
beim ableiten kommt die innere abl. dazu, ergo muss ihre beim aufleiten entgegengewrikt werden, indem sie 1/.... mal hinzu kommt

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