Zerfällungskörper |
| 02.02.2006, 21:56 | neuhier | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Zerfällungskörper Also und zwar hab hier eine Aufgabe, wo ich den Zerfällungskörper und die Galoisgruppe über Q bestimmen soll: f(t) = t^4 - 5*t^2 + 6. Also, so viel ich weiß, um Zerfällungskörper zu bestimmen, muss ich zunächt die Nullstellen des Polynoms berechnen, also praktisch das Polynom in irreduzible Faktoren zerlegen. Also bei mir sehen die Nullstellen so aus: sqrt(3), -sqrt(3), sqrt(2) und -sqrt(2): f = (t - sqrt(3))*(t + sqrt(3))*(t - sqrt(2))*(t + sqrt(2)) Kann vllt jemand nachrechnen, ob die Nullstellen richtig sind??!! Und wie kann ich daraus ablesen, was der Zerfällungskörper ist? Mir ist auch unklar wie ich Galoisgruppe bestimmen soll........ 
Wäre nett wenn mir jemand dabei helfen könnte! Danke im Voraus |
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| 02.02.2006, 22:30 | zeta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
spontan: nullstellen richtig (vieta, dann wurzeln resubst) ZerfK wird wohl Q(sqrt(2,), sqrt(3)) sein, oder, da das der kleinste Körper ist, der alle wurzeln enthält (nur eine der wurzel zu Q reiocht nicht, da sqrt(2), sqrt(3) lin. unabh. ber Q) |
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| 02.02.2006, 23:47 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
satz vom primitiven element ........ berechnen ........ [edit: aber ich glaube inzwischen ich habe deine aussage falsch verstanden..... wenn ja, verzeih mir dir ging es nicht um ein erzeugendes element, sondern wirklich um eine einzelne quadratwurzel, oder? kanns natürlich wirklich nicht sein, wegen grad Q(Wu2,Wu3) über Q =4]
stärker: linearfaktoren meinst du |
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| 03.02.2006, 13:40 | zeta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
wie angekündigt: es war spontan wollte eigentlich nur ausdrücken, dass weder Q(sqrt2) noch Q(sqrt3) "reichen", da sqrt2 nicht in Q(sqrt3) und sqrt3 nicht in Q(sqrt2), also f dann nicht schon in Linearfaktoren zerfaällt, sondern ein quadratischer überbleibt, etwa in Q(sqrt2) dann (x-sqrt2)*(x+sqrt2)*(x^2...) |
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| 03.02.2006, 15:49 | neuhier | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ok, Zerf.körper ihab ch jezt. Wie bistimme ich nun die Galoisgruppe? Hat jemand eine Idee?? |
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| 03.02.2006, 15:51 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Was ist denn genau die Galoisgruppe? wie werden solche Homomorphismen denn gebildet bzw. festgelegt? |
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| 03.02.2006, 16:31 | neuhier | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Also Galoisgruppe haben wir so definiert: Gal(L/K): = Aut(L/K) heißt die Galoisgruppe von L/K. Und es gilt: |Gal(L/K)|=[L:K]. Bei Wikipedia hab ich folgende Definition gefunden: Zu jeder Körpererweiterung L / K kann die Galoisgruppe Gal(L / K) berechnet werden. Sie besteht aus allen Automorphismen über L, die K elementweise festlassen. Es gilt also: \mathrm{Gal}(L/K) = \lbrace \varphi \in \mathrm{Aut}(L) : \varphi\mid_K = \mathrm{id}_K \rbrace |
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| 03.02.2006, 17:56 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
das ist die gruppe der K-Automorphsmen von L L ist dabei K um zwei Erzeuger (wurzel 2, wurzel 3) erweitert [ich denke mit zwei erzeugern ist es einfacher] beachte, dass deine automorphismen durch die erzeugerbilder festgelegt sind, beachte weiterhin, was deine erzeugerbilder sein können etc...... mfg jochen |
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| 03.02.2006, 18:42 | neuhier | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
sorry........ich versteh´s leider nicht..........Was muss ich jetzt zeigen? |
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| 03.02.2006, 18:55 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
was habt ihr überhaupt schon mit solchen Homomorphismen gemacht? habt ihr homomorphismen von endlichen erweiterungen besprochen? irgendwas musst du doch wissen.
klar soweit?
klar soweit?
klar soweit?
gar keine idee? |
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| 03.02.2006, 20:01 | neuhier | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
mit solchen Homomorphismen haben wir noch gar nichts gemacht, wir haben´s nur kurz definiert! Homomorphismen von endlichen Erweiterungen haben wir besprochen (Frobenius-Automorphismus...). sorry, ich hab echt keine Idee.... |
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| 03.02.2006, 20:07 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
wundert mich doch enorm, dass ihr auf sowas losgelassen werdet, ohne irgendwas besprochen zu haben!? in groben worten, was du beachten musst: ist K(a) eine einfache algebraische erweiterung eines Körpers K und soll ein gegebener Homomorphismus von K (Achtung: bei K-homomorphismen wird also die identische abbildung auf K nach K(a) fortgesetzt) auf K(a) fortgesetzt werden, so wird ein solcher Homomorphismus durch das Bild von a festgelegt (warum? nachdenken) dabei muss das bild von a selbst eine Nullstelle vom minimalpolynom von a sein..... jede abbildung a auf irgendeine nullstelle liefert je genau einen homomorphismus....... danach kannst du natürlich jeden dieser Hom von K(a) fortsetzen über einem körper (K(a))(b)=K(a,b) |
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| 03.02.2006, 21:26 | neuhier | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ok, danke ich versuchs noch mal selber, meld mich dann morgen wieder wenn ich noch fragen habe mfg neuhier |
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