Schnittgerade zwischen Ebenen

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Gast1 Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittgerade zwischen Ebenen
Guten Abend,
ich soll von zwei Ebenen, die ich im Folgenden schon miteinander gleichgesetzt habe, die Schnittgerade bestimmen:



Wenn ich jetzt das Ganze erstmal so aufräume und die ersten beiden Gleichungen gleichsetze, erkenne ich, das ist:



Meine Frage: Wie komme ich jetzt weiter zur Ebene?
mfg
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du musst schon in deiner anderen Ebene die Parameter anders wählen.
Es entsteht damit ein LGS aus 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten.
Durch bestimmte Äquivalenzumformungen kannst du dann versuchen den einen Parameter einer Ebene durch den anderen dieser Ebene auszudrücken und dann in die Ebene einsetzen.

Gruß Björn
Gast1 Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe das so wortwörtlich der Aufgabenstellung entnommen...
Da standen wirklich nur die beiden Variablen...
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Kommt manchmal tatsächlich in Mathebüchern vor, in meinem Schulbuch war es auch so. Es ist dennoch im Allgemeinen falsch die beiden Parameter veschiedener Ebenen als gleich anzusehen.
Gast1 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke erstmal.
smile
Eine Frage habe ich aber noch:
Kann man die Schnittgerade von zwei Ebenen auch bestimmen, wenn diese in der Koordinatenform vorliegen, ohne über den Umweg der Parametergleichung gehen zu müssen?
gruß
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber sicher doch, und glaub mir das ist oft auch viel angenehmer bzw es geht schneller.
Du kannst die beiden Ebenen ja mal in Koordinatenform umschreiben und es dann probieren, mit Hilfe von uns natürlich wenn du nicht weiter kommst.
Du hast ja dann nichts anderes als ein LGS mit 2 Gleichungen und 3 Parametern, dass du nun allgemein lösen musst.

Gruß Björn
 
 
Gast1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt erstmal die beiden Koordinatengleichungen ermittelt:




Kannst du da mal kurz drübergucken, damit ich nicht mit falschen Werten weiterrechnen muss...
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Die 2. Ebene stimmt.
Die 1. offensichtlich nicht, da der Stützpunkt (1 | 2 | 5) nicht in der Ebene liegt.

Björn
Gast1 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Normalvektor sollte eigenltlich stimmen, weshalb ich denke, dass ich mich nur bei dem berechnen der Konstanten d vertan habe:



Wie muss ich jetzt die Schnitt gerade ausrechnen? Kann ich mir eine Variable frei definieren und das Gleichungssystem auflösen oder muss ich eine Abhängigkeit "herbeiführen"?
gruß
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Der Normalvektor sollte eigenltlich stimmen, weshalb ich denke, dass ich mich nur bei dem berechnen der Konstanten d vertan habe:



Genau, jetzt passts =)

Ich würde nun durch das Additionsverfahren eine Koordinate in einer der Ebenengleichungen eliminieren und dann das LGS in Abhängigkeit einer Variablen lösen.
Kannst ja mal posten worauf du so kommst.
Gast1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die untere Gleichung mal zwei genommen und dann mit der oberen addiert und dann diese beiden Gleichungen bekommen:




Die untere dann in die obere eingesetzt und:
erhalten.
Dies habe ich dann in:



umgeformt.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich habe die untere Gleichung mal zwei genommen


Du musst sie mit -2 multiplizieren.
Gast1 Auf diesen Beitrag antworten »

Îch habe die Gleichung auch mit -2 malgenommen, hier aber nur das Minus vor der zwei vergessen hinzuschreiben smile
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann erhalte ich aber

Damit hast du dann z durch y ausgedrückt.
Nun musst du noch durch Einsetzen dieses Terms in die 1. Gleichung x durch y ausdrücken und daraus dann eine Geradengleichung machen.

Schreibe dazu am Besten mal alle Gleichungen untereinander, also

x= ...

y= y

z= ...

Damit hast du dann auf den rechten Seiten immer denselben Parameter stehen, was dann schon an eine Gerade erinnert. Wenn du diese noch noch erkennst, melde dich nochmal smile
Gast1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bjoern1982
Dann erhalte ich aber


Das habe ich auch erhalten, aber irgendwie lässt meine Konzentration nach...






soweit meine Ergebnisse...


Kann man daraus jetzt noch eine Parameterform machen?
gruß
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, stimmt alles - dann schreiben wir mal noch etwas um:








Daraus wird dann die Gerade:



oder etwas schöner mit ganzzahligem Richtungs- und Stützvektor:



Hilft das weiter ?
Gast1 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Gott

Ja das hilft weiter. Ich wünsche noch eine gute Nacht Freude
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Wünsch ich dir auch Wink

Björn
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