Reihenentwicklung

25.05.2008, 20:23

Kalle8

Reihenentwicklung

Kann mir jemand auch hier noch helfen?

Für die Taylor-Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n z^n } \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} 1/(1-z+z^2) \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} a_0 = a_1 = 1,\;a_2 = 0\;{\text{sowie }}a_{n + 3} = - a_n ,\;n \ge 0 \end{eqnarray*}$

Ich hab soweit umgeformt

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n \left( {z^n - z^{n + 1} + z^{n + 2} } \right)} = 1 \end{eqnarray*}$ .

Hier muss man auch Koeffizientenvergleich machen.

25.05.2008, 20:37

Mathespezialschüler

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Ausmultiplizieren und Index verschieben.

25.05.2008, 21:29

WebFritzi

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Heraus kommt eine Folge, die rekursiv definiert der Fibonacci-Folge sehr ähnlich ist. Mit etwas linearer Algebra kann man dafür auch eine geschlossene Formel angeben (siehe z.B. http://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-Folge#Berechnung).

26.05.2008, 16:50

Kalle8

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Hab $\begin{eqnarray*} a_0 = a_1 = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_2 = 0 \end{eqnarray*}$ rausbekommen.

Aber wie kann man für $\begin{eqnarray*} n \geq 0 \end{eqnarray*}$ zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a_{n+3} = -a_n \end{eqnarray*}$ sein muss?

Man hat ja

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n z^n - a_n z^{n+1} + a_n z^{n+2}=z^3+1+\sum\limits_{n=3}^{\infty} a_{n} z^n - a_n z^{n+1} + a_n z^{n+2} \end{eqnarray*}$ mit dem vorherigen.

26.05.2008, 19:11

WebFritzi

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Index verschieben.

Außerdem muss man gar nicht (wie von mir oben vorgeschlagen) mit dem fetten Hammer draufhauen, sondern sieht nach Berechnung der ersten 6 Folgenglieder, dass die Folge periodisch ist.

26.05.2008, 19:17

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Viele Wege führen nach Rom. Man kann das ganze für $\begin{eqnarray*} |z|<1 \end{eqnarray*}$ z.B. auch in eine geometrische Reihe entwickeln:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-z+z^2} = \frac{1+z}{(1+z)(1-z+z^2)} = \frac{1+z}{1-(-1)\cdot z^3} = (1+z)\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k z^{3k} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k (z^{3k}+z^{3k+1}) \end{eqnarray*}$

26.05.2008, 20:15

Kalle8

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Also wenn ich

$\begin{eqnarray*} 1 = \sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n } z^n - a_n z^{n + 1} + a_n z^{n + 2} = z^3 + 1 + \sum\limits_{n = 3}^\infty {a_n } z^n - a_n z^{n + 1} + a_n z^{n + 2} \end{eqnarray*}$

dann ist doch

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n = 3}^\infty {a_n } z^n - a_n z^{n + 1} + a_n z^{n + 2} = -z^3 \end{eqnarray*}$

Aber wie muss ich dann die Indexverschiebung machen, um auf mein Ergebnis zu kommen?

27.05.2008, 03:30

WebFritzi

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Zitat:

Original von Kalle8
$\begin{eqnarray*} 1 = \sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n } z^n - a_n z^{n + 1} + a_n z^{n + 2} = z^3 + 1 + \sum\limits_{n = 3}^\infty {a_n } z^n - a_n z^{n + 1} + a_n z^{n + 2} \end{eqnarray*}$

Wie du auf das zweite Gleichheitszeichen kommst, ist mir schleierhaft.

$\begin{eqnarray*} 1 = \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n z^n - a_n z^{n + 1} + a_n z^{n + 2} = a_0 + a_1z - a_0z + \sum_{n=2}^\infty (a_n - a_{n-1} + a_{n-2})z^n. \end{eqnarray*}$

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