Wellengleichung, Anfangs-Randwert-Problem

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Gargy Auf diesen Beitrag antworten »
Wellengleichung, Anfangs-Randwert-Problem
'Nabend nochmal,
ich muss meine Aufgabe doch hier reinstellen, ich krieg's einfach nicht hin. Bitte nicht von der Länge des Beitrags abschrecken lassen. Also, ich habe eine Energiefunktion



Und das Anfangs-Randwertproblem:







Ich soll zeigen, dass , und

Ich hab folgendermaßen angefangen... mit dem Satz von Gauss.







Stimmt das so? Sorry, falls es mathematisch total unsauber ist. Bin für Kritik offen Augenzwinkern Bei dem Fragezeichen bin ich mir nicht sicher, ob das stimmt. Dachte mir, dass sich das ja aus den Randbedingungen ergibt, aber ich kann's nicht begründen.
Aber weiter weiß ich nicht. Wie zeige ich denn jetzt die anderen Sachen?
Orakel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wellengleichung, Anfangs-Randwert-Problem
multipliziere die wellengleichung mit integriere über G und verwende

.

Den zweiten Term integrierst du partiell und verwendest die randbedingung auf . daraus folgt nämlich auch auf , falls die Lösung u regulär genug ist!

Alles in allem erhälst du so die Eigenschaft E'(t)=0, also gilt E(t)=konst. alles andere ist nun trivial!
Gargy Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, danke für die Antwort.
Ach so, ok, das habe ich ja irgendwie schon so gemacht. Nur mal kurz zur der partiellen Integration:



* bedeutet, was du eben gesagt hast.
auf

Ist das so richtig?

Wenn ich jetzt weiß, das E(t)=konst. ist, woher weiß ich dann, dass es außerdem =0 ist?
Gargy Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habs nochmal gemacht und hoffe, jetzt ist es richtig:









Daraus folgt auch gleich

Aber wie ich zeige, dass u(t,x)=0, weiß ich nicht unglücklich


edit// Ich habe den Teil mit der partiellen Integration unterschlagen...



So komme ich von der zweiten zur dritten Zeile.
Gargy Auf diesen Beitrag antworten »

Mag's sich niemand mal anschauen? Ihr könnt mir doch bestimmt helfen... Wenigstens mal drüber gucken, bitte!
Gargy Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie ist diese Lösung doch auch Quatsch, nicht? Ich stecke ja schon rein, was rauskommen soll... Ist meine erste Variante da nicht richtiger?
 
 
Orakel Auf diesen Beitrag antworten »

die partielle integration funktioniert so:



Hier steht für die Neumann-Ableitung von u auf .

Aus der Rechnung folgt also E(t)=konst und wegen E(0)=0 gilt dann auch E(t)=0 für alle . Wenn E(t)=0 ist für alle , so muss zwangsläufig und gelten (siehe Struktur von E). also ist u bezüglich t und x konstant, aber wegen und folgt u(t,x)=0.
Gargy Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, ach so, ach so. Alles klar. Ich hab nix gesagt. Danke schön. Vielen Dank. Das ist ja wirklich ganz einfach. Hammer
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