Additionstheoreme - Sackgasse, oder rechne ich falsch?

03.02.2006, 18:39

Explorator

Additionstheoreme - Sackgasse, oder rechne ich falsch?

Hallo,

die Aufgabe sieht eigentlich einfach aus. Ich komme trotzdem nicht zum richtigen Ergebnis. Ich habe probiert die Additionstheoreme anzuwenden. Nach einer halben DIN A4-Seite sah der Ausdruck länger und komplizierter aus als die Aufgabe selbst.

es soll folgende Gleichung gelöst werden:

$\begin{eqnarray*} sinx+sin3x+sin5x=0 \end{eqnarray*}$

danke voraus für Hilfe

03.02.2006, 19:30

Ambrosius

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wenn das nicht klappt, versuchs doch mal so:
der term ist gleich 0 wenn z.b. alle summanden 0 sind

03.02.2006, 19:36

JochenX

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irgendwie krank, vielleicht hilfts smile

03.02.2006, 20:51

Mathespezialschüler

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Verschoben

Hallo!
Beachte

$\begin{eqnarray*} \sin 3x=3\sin x-4\sin^3x \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sin 5x=5\sin x-20\sin^3x+16\sin^5x \end{eqnarray*}$ .

Setze das ein und substituiere $\begin{eqnarray*} u=\sin x \end{eqnarray*}$ . Klammere dann $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ aus und löse die in der Klammer verbleibende biquadratische Gleichung.

Gruß MSS

03.02.2006, 23:58

Explorator

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es hackt bei mir wieder...
Nach dem Vorschlag von MSS habe ich:

$\begin{eqnarray*} sinx+3sinx-4sin^3x+5sinx-20sin^3x+16sin^5x=0 \end{eqnarray*}$

1.Substitution: $\begin{eqnarray*} sinx = u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 16u^5-24u^3+9u=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u(16u^4-24u^2+9)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 16u^4-24u^2+9=0 \end{eqnarray*}$

2.Substitution: $\begin{eqnarray*} u^2=z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 16z^2-24z+9=0 \end{eqnarray*}$

mit Hilfe der Mitternachtsformel (es ist tatsächlich Mitternacht :-) ) komme ich auf $\begin{eqnarray*} z_1=24, z_2=24 \end{eqnarray*}$

in u rücksubstituiert ergibt: $\begin{eqnarray*} u_1=\sqrt{24}, u_2=-\sqrt{24}, u_3=\sqrt{24}, u_4=-\sqrt{24} \end{eqnarray*}$

und jetzt mein Hacken:
$\begin{eqnarray*} sinx=u_1 \end{eqnarray*}$ aber Wurzel aus 24 ergibt grösser als 1. Mein Taschenrechner weigert sich auch zu rechnen...
Ich habe bestimmt irgentwo einen Fehler gemacht?!

04.02.2006, 00:07

Calvin

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RE: es hackt bei mir wieder...
Du hast die Mitternachtsformel falsch ausgerechnet. Da kommt genau eine Lösung zwischen 0 und 1 raus. Vielleicht siehst du auch direkt, dass $\begin{eqnarray*} 16z^2-24z+9 \end{eqnarray*}$ ein Binom ist?

04.02.2006, 00:16

Explorator

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RE: es hackt bei mir wieder...
stimmt:

$\begin{eqnarray*} (4z-3)^2 \end{eqnarray*}$

vielen Dank, Calvin!

04.02.2006, 13:08

Explorator

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RE: es hackt bei mir wieder...
ich versuche es noch mal zu Ende zu führen.

die erste Nullstelle ergibt sich aus $\begin{eqnarray*} u(16u^4-24u^2+9)=0 \end{eqnarray*}$
also wenn $\begin{eqnarray*} u=0 \end{eqnarray*}$
dann folgt $\begin{eqnarray*} sinx=0 \Leftarrow\Rightarrow x=0 \end{eqnarray*}$

weiter
mit meiner Unfähigkeit die Mitternachtsformel einzusetzen und Eurer Hilfe habe ich folgende Werte für

$\begin{eqnarray*} 16z^2-24z+9=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_1=\frac{3}{4} , z_2=\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

1.Rücksubstitution:

$\begin{eqnarray*} u^2=z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u_1=\sqrt{z_1}=\frac{\sqrt3}{2}, u_2=-\sqrt{z_1}=-\frac{\sqrt3}{2}, u_3=\sqrt{z_2}=\frac{\sqrt3}{2}, u_4=-\sqrt{z_2}=-\frac{\sqrt3}{2} \end{eqnarray*}$

2.Rücksubstitution:

$\begin{eqnarray*} sinx=u \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sinx=u_1=\frac{\sqrt3}{2} \Leftarrow\Rightarrow x_1=arcsin \frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$

ähnlich geschieht mit $\begin{eqnarray*} sinx=u_3 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} sinx=u_2 \end{eqnarray*}$ und mit $\begin{eqnarray*} sinx=u_4 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x=-\frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$

Also ist insgesamt:

$\begin{eqnarray*} x_k=k\frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_k=k(-\frac{\pi}{3}) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \to -\infty \end{eqnarray*}$

### Wenn ich mir das angucke, sieht es "schreibtechnisch" so ziemlich grauenvoll aus. Kann das jemand bestätigen bzw. korrigieren?

### Noch eine Frage. Wie komme ich auf die folgenden Umformungen?:

$\begin{eqnarray*} \sin 3x=3\sin x-4\sin^3x \end{eqnarray*}$ oder/und

$\begin{eqnarray*} \sin 5x=5\sin x-20\sin^3x+16\sin^5x \end{eqnarray*}$

ich habe sie zwar bei der Lösung verwendet, aber mit meinen Kenntnissen über Additionstheoreme für sin, komme ich nicht drauf...

04.02.2006, 15:20

Mathespezialschüler

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RE: es hackt bei mir wieder...

Zitat:

Original von Explorator
also wenn $\begin{eqnarray*} u=0 \end{eqnarray*}$
dann folgt $\begin{eqnarray*} sinx=0 \Leftarrow\Rightarrow x=0 \end{eqnarray*}$

Nein, das stimmt nicht. Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi, k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Explorator
$\begin{eqnarray*} 16z^2-24z+9=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_1=\frac{3}{4} , z_2=\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Du siehst schon, dass die beiden Werte gleich sind? Das heißt natürlich, dass du nicht einzeln für $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ rücksubstituieren musst, sondern nur einmal mit $\begin{eqnarray*} z=z_1=z_2=\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Explorator
1.Rücksubstitution:

$\begin{eqnarray*} u^2=z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u_1=\sqrt{z_1}=\frac{\sqrt3}{2}, u_2=-\sqrt{z_1}=-\frac{\sqrt3}{2}, u_3=\sqrt{z_2}=\frac{\sqrt3}{2}, u_4=-\sqrt{z_2}=-\frac{\sqrt3}{2} \end{eqnarray*}$

Hier brauchst du also nur $\begin{eqnarray*} u_1=\frac{\sqrt{3}}{2}, u_2=-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ !

Zitat:

Original von Explorator
2.Rücksubstitution:

$\begin{eqnarray*} sinx=u \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sinx=u_1=\frac{\sqrt3}{2} \Leftarrow\Rightarrow x_1=arcsin \frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$
...
für $\begin{eqnarray*} sinx=u_2 \end{eqnarray*}$ und mit $\begin{eqnarray*} sinx=u_4 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x=-\frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$

Also ist insgesamt:

$\begin{eqnarray*} x_k=k\frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_k=k(-\frac{\pi}{3}) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \to -\infty \end{eqnarray*}$

Du darfst natürlich absolut nicht die Werte einfach mit $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ multiplizieren, der $\begin{eqnarray*} \sin \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -periodisch, das muss man dann aber addieren! Außerdem ist die Schreibweise $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ leider vollkommen falsch. Da steht ja nichtmal ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ irgendwo und außerdem weiß ich auch nicht genau, was du damit ausdrücken willst. Ich kann es mir zwar einigermaßen vorstellen, aber, wie gesagt, schon das mit der Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist falsch. Ich mache dir das jetzt mal ausnahmsweise vor:

$\begin{eqnarray*} \sin x=u_1=\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\vee x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} \sin x=u_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\vee x=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Das beides kannst du noch zusammenfassen, sodass sich am Ende folgende Lösungsmenge ergibt:

$\begin{eqnarray*} L=\left\{x\in\mathbb R\ \left|\ \exists k\in\mathbb Z\ :\ x=k\pi\vee x=\frac{\pi}{3}+k\pi\vee x=\frac{2\pi}{3}+k\pi\right.\right\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Explorator
$\begin{eqnarray*} \sin 3x=3\sin x-4\sin^3x \end{eqnarray*}$ oder/und

$\begin{eqnarray*} \sin 5x=5\sin x-20\sin^3x+16\sin^5x \end{eqnarray*}$

ich habe sie zwar bei der Lösung verwendet, aber mit meinen Kenntnissen über Additionstheoreme für sin, komme ich nicht drauf...

Das versuchst du jetzt mal, selbst herauszufinden! Du musst nur konsequent die Additionstheoreme anwenden. Zuerst $\begin{eqnarray*} \sin 2x=\sin(x+x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos 2x=\cos(x+x) \end{eqnarray*}$ ausschreiben. Dann kannst du $\begin{eqnarray*} \sin 3x=\sin(2x+x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin 5x=\sin(4x+x) \end{eqnarray*}$ mit den Additionstheoremen umschreiben.

Gruß MSS

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