reihenkonvergenz

03.02.2006, 19:49

Sheli

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reihenkonvergenz

Halli Hallo!!

Ich hab hier so ein paar Reihen, von denen ich sagen soll ob die konvergent sind. Kanns mir teilweise denken, aber will das ja auch richtig beweisen können.

Also hier die vier Reihen:

1. $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{(-1)^n*n}{n^2+1} \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{n^2+1} \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{n}+\frac{(-1)^n}{n^2} \end{eqnarray*}$

4. $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{n^3+1}{n^5+1} \end{eqnarray*}$

so also bei 1. muss man ja zeigen, dass es eine monoton fallende nullfolge ist. ich vermute schon das es so ist, aber wie kann ich sowas korrekt zeigen?

Zu 2. Kann man das nicht so schreiben $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2+1}<\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ und damit ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ die konvergente Majorante und die Reihe konvergiert absolut.

Aber anderseits kann man es doch auch schreiben wie $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2}<\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und die harmonische Reihe divergiert. Also da weiss ichs eben nicht genau wies nun richtig sein muss.

zu 3. muss man das zusammenfassen und dann leibnitz anwenden oder kann mans einzeln machen? denn soweit ich weiss gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~(a_k+b_k)= \sum_{k=1}^\infty~a_k+\sum_{k=1}^\infty~b_k \end{eqnarray*}$ nur wenn die einzelnen Reihen konvergieren, aber dann wäre die eine reihe die harmonische reihe und die divergiert ja.

zu 4. weiss ich gar nicht wie ich vorgehen kann

also wär schon cool, wenn mir da jemand helfen könnte wie man das denn jetzt nun richig macht.

liebe grüße sheli!!!

03.02.2006, 19:55

JochenX

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erstmal zu 2 und 3:

zu 2) was bringt es dir, eine reihe zu finden, die größer ist und bestimmt divergiert?
mach dir mal anschaulich klar, dass das gar nichts aussagt....
deine majorante 1/n^2 hingegen "zwingt" durch ihre konvergenz deine reihe auch zur konvergenz; das zieht und passt!

zu 3) tatsächlich kannst du nicht immer etwas darüber aussagen so
aber nach dem auseinanderziehen hast du eine konvergent reihe + eine divergente reihe; kann die konvergent sein!?

03.02.2006, 20:11

Sheli

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dann ist 3) nicht konvergent und ich kann das auch so begründen, ja?

bei 2) hab ichs verwechselt, denn man sucht ja entweder eine konvergente majorante oder divergente minorante, mein fehler Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber dann frag ich micht warum $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ überhaupt konvergiert wie kann man das erklären? denn es ist ja $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{n^2}= \sum_{k=1}^\infty~(\frac{1}{n}*\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ und wenn man das jetzt wie bei der Addition aufschreibt, bekommt man soch das Produkt zweier konvergenter Reihen $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{n}*\sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
wahrscheinlich verwechsel ich wieder was.

03.02.2006, 20:15

JochenX

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irgendwie verwirrst du dich glaube ich selbst

1) gilt nicht $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~(\frac{1}{n}*\frac{1}{n})=\sum_{k=1}^\infty~(\frac{1}{n})*\sum_{k=1}^\infty~(\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$
2) bekommst du das produkt zweier konvergenter reihen!?

03.02.2006, 21:42

Sheli

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ich dachte nur, dass man das $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~(a_k+b_k)= \sum_{k=1}^\infty~a_k+\sum_{k=1}^\infty~b_k \end{eqnarray*}$ genauso für die Multiplikation formulieren kann.

bin ein wenig durcheinander. aber ich kann mir immer noch nicht erklären, wie man zeigt dass eine Reihen mit a_n=1/n^2 konvergiert.
denn es gilt ja generell $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~n^p \end{eqnarray*}$ , p>1 => konvergiert , p<1 divergiert.

weiss nur eben nicht wie mans zeigen könnte
vielleicht kannst du mir da nochmal einen tipp geben? Hilfe

Hilfe

03.02.2006, 22:38

klarsoweit

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Zitat:

Original von Sheli
denn es gilt ja generell $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~n^p \end{eqnarray*}$ , p>1 => konvergiert , p<1 divergiert.

Was soll das? verwirrt

verwirrt

In dieser Reihe und auch in den anderen (bis auf eine Ausnahme) kommt die Laufvariable k im Summenterm nicht vor. Auch nicht bei dir, LOED.

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04.02.2006, 00:36

JochenX

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danke, klarsoweit
hatte es einfach rauskopiert aus shelis thread und nicht auf den namen der laufvariable geachtet

*schäm*

Wink

Wink

an dich
und von meiner seite aus übrigens mal ein großes lob für deine fleißige hilfe

04.02.2006, 00:44

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Sheli
denn es gilt ja generell $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~n^p \end{eqnarray*}$ , p>1 => konvergiert , p<1 divergiert.

Sieht man mal vom Laufindex ab, ist das mathematisch natürlich auch völliger Humbug. Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~n^p \end{eqnarray*}$ konvergiert genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} p<-1 \end{eqnarray*}$ und divergiert genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} p\geq -1 \end{eqnarray*}$ ist.

Gruß MSS

04.02.2006, 15:17

Sheli

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sorry, das mit dem Laufindex ist natürlich falsch. hab das auch aus dem Formeleditior eifach rauskopiert und dann nicht weiter beachtet, mein Fehler.

@Mathespezialschüler
hab das von einer Mathe-Internet Seite von irgendeiner Uni, und dachte man könne sich darauf verlassen, aber ist wohl doch nicht so.

Es bleibt aber trotzallem die Frage wie man nun beweist, dass
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ oder jetzt auch $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n^{1/2}} \end{eqnarray*}$ konvergieren. Wir hatte sowas nie bewiesen ist mir vor kurzem aufgefallen.

Und dann hab ich ja nocht die zweite Frage, und zwar wie man das Leibnitz Kriterium auf die erste Reihe anwendent, und was nun mit der 4. Reihe ist, denn dazu hab ich auch einfach keine Ideen .

Wär lieb, wenn mir da nochmal wer helfen könnte.

04.02.2006, 15:18

JochenX

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Zitat:

Original von Sheli
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ oder jetzt auch $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n^{1/2}} \end{eqnarray*}$ konvergieren.

die zweite divergiert! als divergente minorante findest du die harmonische reihe über 1/n

04.02.2006, 15:51

Sheli

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ja, aber dann hatte ichs ja doch richtig gesagt, dass die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~n^p \end{eqnarray*}$ für p>1 konvergiert , und für p<1 divergiert, warum sagt Mathespezialschüler, dass es so nicht stimm?

Hab das jetzt bei der 4. so gemacht

$\begin{eqnarray*} \frac{n^3+1}{n^5+1}<\frac{n^3+n}{n^5}<\frac{n^3+n^3}{n^5}=\frac{2n^3}{n^5}=2*\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

Und somit konvergiert die 4. Reihe.

04.02.2006, 15:55

Mathespezialschüler

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Weil es falsch ist!!!!!!!!!!! Du hast es ganz sicher falsch abgeschrieben, richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{n^p} \end{eqnarray*}$

konvergiert genau für $\begin{eqnarray*} p>1 \end{eqnarray*}$ und divergiert genau für $\begin{eqnarray*} p\leq 1 \end{eqnarray*}$ .
Im Übrigen ist die Abschätzung für die vierte Aufgabe gut so.

Gruß MSS

04.02.2006, 17:48

Sheli

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Dann bleibt ja "nur" noch $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{(-1)^n*n}{n^2+1} \end{eqnarray*}$ .

Ich weiss leider nicht ganz wie man zeigt, dass die Reihe eine monoton fallende Nullfolge ist.?? Hilfe

Hilfe

04.02.2006, 17:51

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Sheli
Ich weiss leider nicht ganz wie man zeigt, dass die Reihe eine monoton fallende Nullfolge ist.??

Das willst du doch gar nicht zeigen! Du willst zeigen, dass die Beträge der Glieder eine monoton fallende Nullfolge bilden! Dazu musst du zeigen:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{(n+1)^2+1}\leq \frac{n}{n^2+1} \end{eqnarray*}$ .

Also los! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

04.02.2006, 20:50

Sheli

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Hab das jetzt mal gemacht. Also Nullfolge ists ja auf jeden Fall schon mal.

Monoton fallend auch, da

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{(n+1)^2+1}\leq \frac{n}{n^2+1} \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} (n+1)(n^2+1) \leq n((n+1)^2+1) \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} n^3+n+n^2+1 \leq n^3+2n^2+2n \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} 1 \leq n^2+n \end{eqnarray*}$

Und diese Ungleichung ist ja wahr.

Also hat man damit gezeigt, dass die Reihe konvergiert. Hoffe ich jetzt zumindest Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gäbe es denn andere Methoden die Konvergenz bzw. Divergenz einer solchen Reihe zu zeigen?

Mir ist übrigens eigefallen, man hätte ja auch zeigen können, das $\begin{eqnarray*} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|<1 \end{eqnarray*}$ ist, denn dann wäre die Folge ja auch monoton fallend.

04.02.2006, 21:01

Mathespezialschüler

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Das ist korrekt so. Ich hätte aber direkte abgeschätzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{(n+1)^2+1}<\frac{n+1}{(n+1)^2}=\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n^2+n}<\frac{n}{n^2+1} \end{eqnarray*}$ .

Es gibt natürlich noch andere Kriterien, das Leibnizkriterium ist hier aber sicher am einfachsten.

Gruß MSS

04.02.2006, 22:11

glocke

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hi zusammen

obwohl 2) bereits gelöst ist, will ich noch etwas nachtragen, denn ich könnte mir vorstellen, daß die hier benutzte argumentation bewiesen werden muß. man kann hier aber auch elegant mit partialsummen arbeiten:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^N~ \frac{1}{n^2}=1+\sum_{n=2}^N~ \frac{1}{n^2}\leq 1+\sum_{n=2}^N~\frac{1}{n(n-1)}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1+\sum_{n=2}^N~( \frac{1}{n-1}- \frac{1}{n})=1+1-\frac{1}{N} \leq 2 \end{eqnarray*}$

die folge der partialsummen ist also nach oben beschränkt und auch monoton wachsend, somit konvergent.

greez
glocke

05.02.2006, 00:35

Sheli

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Hey, danke euch allen. Hab das nun auch verstanden Mit Zunge

Mit Zunge

Wink

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