Fourier-Reihe

04.02.2006, 14:43

PsychoCat

Fourier-Reihe

Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich die Fourier-Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f(x)=\cos(x)^2-\sin(x)^2-\sin(x)+1 \end{eqnarray*}$ möglichst einfach bestimmen kann? Die müssten für $\begin{eqnarray*} k\geq 3 \end{eqnarray*}$ alle 0 sein und sonst auch relativ einfache Werte haben.
Ich würde jetzt einfach anfangen diese Integralformeln zu verwenden, aber das sieht mir zu kompliziert aus als dass es richtig sein könnte verwirrt

Und dann habe ich noch eine zweite Frage: Wie bekomme ich aus den Fourier-Koeffizienten die dargestellte Funktion? Z.B. wenn $\begin{eqnarray*} c_k=r^{|k|} \end{eqnarray*}$ für k ungleich 0 und $\begin{eqnarray*} 0\leq r<1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_0 = 2 \end{eqnarray*}$ ist.

04.02.2006, 21:22

Harry Done

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RE: Fourier-Reihe
Ich verstehe nicht ganz, wieso du von einer ohnehin periodischen Funktion eine Fourier-Reihe bilden willst. Welchen Ansatz wählst du denn.
Kann dir nur sagen, dass der Term sich vereinfachen lässt:
$\begin{eqnarray*} 1=cos^2(x)+sin^2(x) \end{eqnarray*}$

und für $\begin{eqnarray*} cos^2(x) \end{eqnarray*}$ gibt es auch eine Vereinfachung, die zu etwas mit $\begin{eqnarray*} cos(2x) \end{eqnarray*}$ führt, hab nur keine Formelsammlung gerade hier.

wenn ich da die Koeffizienten bestimme, komme ich immer auf Null, wenn ich $\begin{eqnarray*} sin(k\cdot \pi)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} cos^2(k\cdot \pi)=1 \end{eqnarray*}$ beachte.

Mein Problem ist halt die Periodität der Ausgangsfunktion, ich kenn es bis jetzt nur mit stückweise definierten Funktionen und nicht mit Funktionen, die schon eine Periode haben?

Zu der zweiten Frage, hat das etwas mit der komplexen Schreibweise der Fourier-Reihen zu tun?
Scheint so, als würdest du erst zu einer Fourier-Reihe hinrechnen, um dann wieder die Originalfunktion zu erhalten?

Gruß Jan

04.02.2006, 22:48

sqrt(2)

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RE: Fourier-Reihe

Zitat:

Original von Harry Done
wenn ich da die Koeffizienten bestimme, komme ich immer auf Null, wenn ich $\begin{eqnarray*} sin(k\cdot \pi)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} cos^2(k\cdot \pi)=1 \end{eqnarray*}$ beachte.

Also meine $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ sind null, außer $\begin{eqnarray*} a_{{2}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{1} \end{eqnarray*}$ , die undefiniert sind. Eine Grenzwertuntersuchung bringt dann $\begin{eqnarray*} a_2=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_1=-1 \end{eqnarray*}$ . Kein Wunder, aus $\begin{eqnarray*} f(x)=\cos 2x-\sin x+1 \end{eqnarray*}$ kann man die Koeffizienten ja auch direkt so ablesen.

04.02.2006, 23:32

PsychoCat

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Erstmal danke für eure Antworten!
Der Ansatz mit $\begin{eqnarray*} 1=sin^2+cos^2 \end{eqnarray*}$ bringt mich aber nicht sonderlich weiter, weil ich dann immernoch $\begin{eqnarray*} 2cos^2 \end{eqnarray*}$ habe oder? Aber der mit $\begin{eqnarray*} cos(2x)=cos^2-sin^2 \end{eqnarray*}$ natürlich schon, da muss man aber auch erstmal drauf kommen.. Auf deine Frage warum man das machen will, kann ich dir leider auch keine Antwort geben Big Laugh

Ich will die Funktion eben mit sin und cos und nicht den Quadraten darstellen..
Raus habe ich jedenfalls dann dasselbe wie sqrt(2), allerdings ist noch $\begin{eqnarray*} a_0=2 \end{eqnarray*}$ .

Bei dem anderen Problem bin ich leider immernoch nicht weiter.

Zitat:

Zu der zweiten Frage, hat das etwas mit der komplexen Schreibweise der Fourier-Reihen zu tun?

Nein, hat es eigentlich nicht. Die $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ umwandeln (in dem Fall sind ja alle $\begin{eqnarray*} b_k=0 \end{eqnarray*}$ ) habe ich auch schon versucht, dann bekomme ich die Reihe $\begin{eqnarray*} 2+2\sum_{k=1}^\infty ~ r^k cos(kx) \end{eqnarray*}$ aber da wüsste ich auch nicht, wie ich da den Wert ausrechnen sollte verwirrt

05.02.2006, 04:26

sqrt(2)

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Ist die Darstellung, die du hast, nicht vielleicht einfach das, wonach gefragt ist, wenn du einfach nur noch $\begin{eqnarray*} f(x)= \end{eqnarray*}$ davorschriebest?

05.02.2006, 15:29

PsychoCat

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nein ich fürchte nicht, in der Musterlösung steht irgendein Ausdruck mit $\begin{eqnarray*} e^{-ix} \end{eqnarray*}$ traurig

06.02.2006, 11:08

sqrt(2)

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Man könnte das natürlich noch als $\begin{eqnarray*} f(x)=1+\sum_{k=-\infty}^\infty r^{|k|} e^{\mathrm{i}kx} \end{eqnarray*}$ schreiben, aber den Reihenwert berechnen? verwirrt

06.02.2006, 15:46

Mathespezialschüler

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Auch im Komplexen gilt noch das Potenzgesetz

$\begin{eqnarray*} \operatorname e^{kz}=(\operatorname e^z)^k \end{eqnarray*}$

für beliebige $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ganzzahlig ist. Einsetzen und Anwenden eines weiteren Potenzgesetzes bringt eine geometrische Reihe.

Gruß MSS

09.02.2006, 22:32

PsychoCat

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ah vielen Dank, damit bekomme ich es hin smile

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