Eine Extremwertaufgabe

04.02.2006, 15:21

passionately

Eine Extremwertaufgabe

Schon wieder ein kleines Problem;-):

Einer Halbkugel mit gegebenem Radius r wird ein Kreiskegel umbeschrieben. Zu bestimmen ist der halbe Öffnungswinkel x des Kegels so dass das Volumen minimal ist.

Habe mir zuerst gedacht die Formel für die Volumenberechnung eines Kreiskegels als Zielfunktion zu nehmen..doch wäre es nicht besser den Kegel als Rotationsvolumen um die x-Achse entstehen zu lassen?

Eine Skizze mit eingezeichnetem Winkel habe ich..nur weiss ich nicht wie ich das hier zeigen kann..;-)

04.02.2006, 17:39

Cyrania

Auf diesen Beitrag antworten »

Sei R der Radius der Halbkugel

Hauptbedingung:

V=1/3*pi*r^2

Nebenbedingung

$\begin{eqnarray*} R/h=r/s=r/\sqrt{(h^2+r^2)} \end{eqnarray*}$

Quadrieren und umstellen führt zu:

$\begin{eqnarray*} h^2=R^2*r^2/(r^2-R^2) \end{eqnarray*}$

Jetzt noch einsetzen usw.

Willst du im KS arbeiten, so hast du die Fläche des Rotationskörpers und die Nebenbedingung x^2+y^2=R^2. Auch hier muss aber Strahlensatz oder Ähnlichkeit her.

05.02.2006, 09:31

Cyrania

Auf diesen Beitrag antworten »

Tipp für Koordinatensystem:

Wenn die Fläche des Rotationskörpers minimal ist folgt daraus in diesem Fall auch minimales Volumen.

Als Zielfunktion reicht dir also die Fläche A.

Es sei P(x/y) der Punkt, an dem die Mantellinie des Kegels die Kugel berührt, dann sei im KS der Radius des Kegels R=x+a und die Höhe des Kegels h=y+b

Zeichnet man den Radius r der Kugel zu diesem Punkt, ergeben sich mehrere rechtwinklige Dreiecke und die Beziehungen:

y/a=x/y=b/x

und damit

a=y^2/x und b=x^2/y

Außerdem
r^2=x^2+y^2
Trick: y zuletzt ersetzen -vorher r^2 reinholen spart viel Aufwand

A=(x+a)(y+b)/2

Nun alles ersetzen und differenzieren

05.02.2006, 11:04

passionately

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Cyrania

Danke für deine Hilfe..trotzdem habe ich nicht ganz verstanden wie das gemeint ist:

Wenn ich die Fläche als Hauptfunktion nehme dann wäre das: pi*r*s oder?

Die Höhe des Kegels wäre doch r+x und der Radius des Kegels r+y denn r ist ja gegeben.

Wenn ich den Radius r der Kugel zum Punkt P(x/y) zeichne, dann ergeben sich 2 rechtwinklige Dreiecke, oder?

Sorry...habe anscheinend eine etwas lange leitung und noch nicht so lange dieses Thema..

lg
Nina

05.02.2006, 11:27

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist nicht so klar, wie das aussehen soll. Etwa so?

05.02.2006, 11:32

passionately

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey..

Nein etwas anders:

Zuerst ein Halbkreis (Bogen nach oben) und dem Halbkreis wird nun ein Kegel umbeschrieben...das heisst: der halbkreis ist innen.
Der Radius ist gegeben. Problem ist nun..wie kann man den Radius des Kegels bestimmen..das ist: r + der kleine Abstand der zusätzlich durch den Kegel entsteht...

Wie zeichnet man denn in diesem Editor??

lg

05.02.2006, 12:32

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Dann so. Der Winkel an der Spitze ist gleich groß wie der Winkel am Fuß der Höhe h. Mit ein paar trigonometrischen Beziehungen kannst du Höhe und Radius des Kegels in Beziehung bringen.

05.02.2006, 15:35

Cyrania

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du findest das x für dein Minimum auch über das Minimum der Fläche und da die Fläche ein rechtw. Dreieck ist, über A=R*h/2. (Es reicht, den ersten Quadranten mit dem Viertelkreis zu betrachten, man muss es sich nur für die Lösung merken)

Dabei berührt der Radius r der Kugel die Hypotenuse deines Dreiecks ja in einem Punkt P, welcher durch x und y darstellbar ist.

Es ist R=x+a und h=y+b, wobei dann a und b die fehlenden Stücke sind, die man über die Ähnlichkeit bekommt.
Zeichnest du den Radius r der Kugel nämlich ein, so erhältst du vier ähnliche rechtwinklige Dreiecke.

Daraus folgt:

a/y=y/x bzw. a=y²/x
b/x=x/y bzw. b=x²/y

Aus A=R*h/2 folgt:

$\begin{eqnarray*} A=1/2*(x+a)*(y+b)=1/2*(x+y^2/x)(y+x^2/y) \end{eqnarray*}$
Nach Erweitern:
$\begin{eqnarray*} A=1/2*((x^2+y^2)/x)((y^2+x^2)/y)=r^4/(2*x*y) \end{eqnarray*}$

Jetzt noch die Nebenbedingung vom Kreis benutzen und y ersetzen, dann ableiten und 0 setzen und es folgt xmin

05.02.2006, 15:36

Cyrania

Auf diesen Beitrag antworten »

@klarsoweit

Deine Zeichnung beschreibt nur einen Spezialfall Big Laugh

Der Berührpunkt kann auch höher oder tiefer liegen.

05.02.2006, 17:48

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cyrania
@klarsoweit

Deine Zeichnung beschreibt nur einen Spezialfall Big Laugh

Der Berührpunkt kann auch höher oder tiefer liegen.

Meine Skizze beschreibt nicht einen Spezialfall, sondern ist ein Beispiel für jede denkbare Möglichkeit. Ich wüsste nicht, was daran speziell sein soll. Und bei dem Argument: "minimale Fläche des Kegeldreiecks führt zu minimalen Kegelvolumen" bin ich mir nicht sicher, ob das sauber ist.

05.02.2006, 18:08

Cyrania

Auf diesen Beitrag antworten »

Uiii - es war nicht böse gemeint und dir und mir sicher alles klar. Aber die Zeichnung sah so nach gleichschenklig aus, da kann ein Unkundiger leicht in die Irre geführt werden. Mehr wollte ich nicht andeuten.

V=1/3*pi*r^2*h

Das Minimum ist nur von r abhängig und aus kleinstem positiven r folgt kleinstes r². Oder?

05.02.2006, 19:00

passionately

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Ach..das ist mir langsam echt peinlich...habe schon soviele Hinweise bekommen aber werde einfach nicht so schlau daraus..

x und y sind bei meiner Zeichnung der Radius des Halbkreises..warum muss man denn den durch x und y ersetzen wenn er doch gegeben ist?? verwirrt

Bei der Berechnung die nachher r^4/2*x*y verstehe ich zudem nicht wie du zu diesem r^4 gekommen bist. Das Resultat müsste ja (2*x^2*y^2 + x^4 + y^4)/ 2*x*y geben nicht? ;-) sorry wegen der langen Leitung...und danke für die Geduld..

grüsse

Anbei noch eine Zeichnung...ich glaube einfach ich stelle mir das anders vor..denn sonst würde ich es (hoffentlich) schon verstehen...

05.02.2006, 19:06

Cyrania

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie bekomme ich hier so ein Bild rein, verflixt und zugenäht???

x und y sind die Koordinaten des Punktes P, der ja variiert, je nachdem wo der Kreiskegel die Kugel berührt.

Deswegen benutzt man ja ein Koordinatensystem, sonst hättest du es besser ohne berechnen können. Zeichne mal in deine Zeichnung am Berührpunkt Kugel-Kegel die Senkrechte und die Waagerechte zu den Achsen ein - und das, was dann übrig bleibt, habe ich a und b genannt.

Aus x²+y²=r² folgt (x²+y²)*(x²+y²)=r²*r²=rhoch4

05.02.2006, 19:12

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cyrania
V=1/3*pi*r^2*h

Das Minimum ist nur von r abhängig und aus kleinstem positiven r folgt kleinstes r². Oder?

Hmm. Also bei V=1/3*pi*r^2*h ist das Minimum von r und von h abhängig, wobei r und h irgendwie noch voneinander abhängen. Ich verstehe aber nicht, was du mit "aus kleinstem positiven r folgt kleinstes r²" sagen willst.
Wie hängen nun r und h zusammen? In meiner Skizze habe ich zwei Winkel eingezeichnet. Über die Winkelsumme im Dreieck sieht man leicht, daß beide Winkel identisch sind. Nennen wir ihn alpha.
Dann gilt für den Winkel an der Spitze:
$\begin{eqnarray*} sin(\alpha) = \frac{R}{h} \end{eqnarray*}$
Und für den Winkel an der Basis:
$\begin{eqnarray*} cos(\alpha) = \frac{R}{r} \end{eqnarray*}$
Aus $\begin{eqnarray*} (sin(\alpha))^2 + (cos(\alpha))^2 = 1 \end{eqnarray*}$ läßt sich eine Beziehung zwischen h und r herleiten.

05.02.2006, 19:13

Cyrania

Auf diesen Beitrag antworten »

So , jetzt hoffentlich - nicht schön- aber selten - Big Laugh

@klarsoweit

In meiner Skizze sieht man jetzt auch mehrere ähnliche Dreiecke - alle rechtwinklig mit Winkel alpha.

Zum Problem - r kann nur positiv sein. Die Fläche des Rotationskörpers ist 1/2*r*h, also ist V=1/3*2*pi*r*A.

Da ist h schon mit enthalten. Ansonsten siehe oben.
Rechne beide Varianten durch und du siehst, es stimmt.

05.02.2006, 19:16

passionately

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier nochmals die Zeichnung..

...Welchem Rat soll ich denn nun folgen?;-)...

05.02.2006, 19:19

passionately

Auf diesen Beitrag antworten »

hm...klappt nicht so mit dem bild

05.02.2006, 19:21

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

@Cyrania: vielleicht kannst du deinen Ansatz nochmal genauer erläutern. Vielleicht liegts am Wetter, aber irgendwie krieg es nicht auf die Reihe, welche Überlegungen bei dir dahinter stecken.
Aus deiner Skizze entnehme ich:
$\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = R^2 \end{eqnarray*}$ mit R = Radius der Halbkugel
x+a = r = Radius des Kegels
y+b = h = Höhe des Kegels
Ehrlich gesagt: mir sind das zuviele zusätzliche Variablen.

05.02.2006, 19:21

Cyrania

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst allen Wegen folgen. Je nachdem, ob du mit trigonometrischen Beziehungen oder Ähnlichkeit besser klar kommst, ob du es mit oder ohne Koordinatensystem machen möchtest.

Es sind jetzt drei verschiedene Wege. Pass auf, dass du nicht durcheinander kommst. Wink

05.02.2006, 19:26

passionately

Auf diesen Beitrag antworten »

hm..ja pass schon auf..;-)

Nur noch eine kleine Frage: Was meinst du mit der Nebenbedingung des Kreises die ich nun auf y^4/2xy anwenden muss?

differenzieren und 0 setzen..das traue ich mir dann schon noch zu..aber dass ist auch der kleinste Teil der Aufgabe..

nachher störe ich dich nicht mehr..versprochen Big Laugh

05.02.2006, 19:28

Cyrania

Auf diesen Beitrag antworten »

@klarsoweit

Ziel: minimale Dreiecksfläche

Hauptbedingung
A=r*h/2
A=1/2*(x+a)(y+b) nach Skizze

Nebenbedingungen:
x²+y²=r²

a/y=x/y (Dreiecke unten rechts)
a=x/y²
b/x=x/y (Dreiecke oben links)
b=x²/y

A=1/2*(x+x/y²)(y+x²/y)

usw.
durch Erweitern und Anwenden der ersten Nebenbedingung kommt man zum Ergebnis.

05.02.2006, 19:34

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cyrania
Ziel: minimale Dreiecksfläche

Und warum führt eine minimale Dreiecksfläche zum minimalen Kegelvolumen? Mir ist zwar klar, daß der Kegel durch Rotation eines Dreiecks entsteht. Mich überzeugt aber nicht, daß aus der minimalen Fläche ein minimales Rotationsvolumen folgt.

05.02.2006, 19:37

Cyrania

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} A=r^4/(2x*\sqrt{(r^2-x^2)}) \end{eqnarray*}$

ableiten und 0 setzen für minimales x,

dann

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{(r^2-x^2)} \end{eqnarray*}$

dann

Radius vom Kreiskegel=x+a mit a=y²/x
Höhe h=y+b mit b=x²/y

nutzen und Volumen berechnen.

05.02.2006, 19:39

passionately

Auf diesen Beitrag antworten »

OK..HAB DEN DURCHBLICK!!!ALLES KLAR...

..ob aus der minimalen Dreiecksfläche wirklich ein minimales Kegelvolumen entsteht überlasse ich euch;-) das ist höhere Mathematik (für mich)

Einen schönen Sonntag abend euch beiden!!!

Tschüs und VIELEN DAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAANK Tanzen

06.02.2006, 10:00

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cyrania
@klarsoweit

Ziel: minimale Dreiecksfläche

Nachdem ich mir alles nochmal genauestens zu Gemüte geführt habe, möchte ich nochmal die Frage aufgreifen, ob aus der minimalen Dreiecksfläche wirklich das minimale Kegelvolumen folgt.
Zunächst gibt es etwas Verwirrung bezüglich der Bedeutung der Variablen. Also wir haben:

Zitat:

Original von Cyrania
Hauptbedingung
A=r*h/2
A=1/2*(x+a)(y+b) nach Skizze

Hier ist r der Radius des Kegels und h die Höhe des Kegels.

Zitat:

Original von Cyrania
Nebenbedingungen:
x²+y²=r²

Hier ist mit r der Radius der Halbkugel gemeint. Besser wäre, die Variable R zu verwenden, dann haben wir:
x²+y²=R²

Ich bin mit dir einig, daß a = y²/x und b = x²/y ist. Das alles in A eingesetzt ergibt dann:
$\begin{eqnarray*} A(x) = 0,5 \cdot \frac{R^4}{x \cdot \sqrt{R^2 - x^2}} \end{eqnarray*}$
Minimales A bekomme ich bei x_min = R/(Wurzel(2)).
Daraus erhalte ich r=h= R * Wurzel(2)

Nun machen wir die Rechnung auf die andere Art.
Auf unterschiedlichen Wegen haben wir die Beziehung $\begin{eqnarray*} h^2 = \frac{R^2 \cdot r^2}{r^2 - R^2} \end{eqnarray*}$ hergeleitet.
Setzen wir dies in das Quadrat des Kegelvolumens V = pi * r^2 * h/3 ein, dann folgt:
$\begin{eqnarray*} V^2 = \frac{\pi^2}{9} \cdot r^4 \cdot h^2 = \frac{\pi^2}{9} \cdot \frac{R^2 \cdot r^6}{r^2 - R^2} \end{eqnarray*}$
Das Minimum wird hier bei r = R * Wurzel(1,5) erreicht.
Damit kommen wir zu unterschiedlichen Ergebnissen. Ich denke, damit ist der Ansatz über die minimale Dreiecksfläche gescheitert.

06.02.2006, 11:16

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

da der öffnungswinkel gesucht ist, würde ich mit trigonometrischen beziehungen rechnen. mit
$\begin{eqnarray*} R=\frac{r}{cos\alpha }\text{ und }H=\frac{r}{sin\alpha }\Rightarrow f(\alpha )=cos^{2}\alpha \cdot sin\alpha \end{eqnarray*}$
das liefert
$\begin{eqnarray*} \alpha =35.2644° \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} H=r\sqrt{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} R=r\frac{\sqrt{6}}{2} \end{eqnarray*}$
werner

06.02.2006, 19:13

Cyrania

Auf diesen Beitrag antworten »

Korrektur nachgereicht, gestern war keine Zeit mehr.

Im Allgemeinen gilt nicht, dass das Volumen eines Riotationskörpers nur von der rotierenden Fläche abhängt und das habe ich auch nicht behauptet. Kann man sich leicht am Armreif oder HulaReif verdeutlichen. Auf einen dickeren Finger muss ich weit mehr Gold nehmen als auf einen Dünnen, auch wenn beide Ringe als Rotationsfigur der gleichen Fläche erzeugt werden können.

Im speziellen Fall ging ich von einer quadratischen Funktion k*r² aus, was ein Irrtum war.

Wo ist der Zeigefingersmilie???????????????????

Alles andere im Anhang.

Neue Frage »

Antworten »

Eine Extremwertaufgabe

Verwandte Themen