Berechnung von Wahrscheinlichkeiten meherer Ereignisse

26.05.2008, 09:19	groni	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung von Wahrscheinlichkeiten meherer Ereignisse Hallo, ich stehe im Moment etwas auf dem Schlauch mit der Lösung folgender Aufgabe: Gegen sind die Ereignisse A und B mit folgenden Bedingungen: $\begin{eqnarray} P[(A \cup B)^c] = 72% \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P[ A - B ] = 2,25 P [B \cap A^c] \end{eqnarray}$ A und B sind stochastisch unabhängig nun sollen folgende Werte berechnet werden: P[A] P[B] $\begin{eqnarray} P[A \cap B] \end{eqnarray*}$ P[A - B] P[B - A] bitte die schlechte Latex Darstellung nachzusehen, das "Ding" ist neu für mich... Vielen Dank vorab.
26.05.2008, 10:10	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei zwei Ereignissen gibt es $\begin{eqnarray} 2^2=4 \end{eqnarray}$ Ereigniskombinationen: $\begin{eqnarray} A\cap B,\quad A^c\cap B,\quad A\cap B^c,\quad A^c\cap B^c \end{eqnarray}$ mit den zugeordneten Wahrscheinlichkeitswerten $\begin{eqnarray} r =P(A\cap B),\quad s=P(A^c\cap B),\quad t=P(A\cap B^c),\quad u=P(A^c\cap B^c) \end{eqnarray}$ , die Abkürzungen $\begin{eqnarray} r,s,t,u \end{eqnarray}$ nur der Schreibfaulheit für später wegen. Wollen wir doch mal zusammentragen, was für diese Werte nun aus den Voraussetzungen zusammentragbar ist: $\begin{eqnarray} (1)\qquad u = 0.72 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2)\qquad t = 2.25 \cdot s \end{eqnarray}$ . Die Unabhängigkeitsvoraussetzung bedeutet $\begin{eqnarray} P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) \end{eqnarray}$ , demnach also $\begin{eqnarray} (3)\qquad r = (r+t)(r+s) \end{eqnarray}$ . Schließlich und endlich summieren sich alle vier Werte zu Eins: $\begin{eqnarray} (4)\qquad r+s+t+u = 1 \end{eqnarray}$ . (1)-(4) ist nun ein Gleichungssystem für die vier Werte $\begin{eqnarray} r,s,t,u \end{eqnarray}$ , das es zu lösen gilt. Ist das geschafft, fallen die in der Aufgabenstellung gesuchten Wahrscheinlichkeitswerte dann leicht als Folgerung ab. ----------------------------------------------------------------------------------- Auf den zweiten Blick erscheint folgender Zugang didaktisch günstiger: Man geht gleich von der Unabhängigkeit aus und erhält dann mit $\begin{eqnarray} a=P(A),b=P(B) \end{eqnarray}$ sofort $\begin{eqnarray} P(A\cap B)=ab,\quad P(A^c\cap B)=(1-a)b,\quad P(A\cap B^c)=a(1-b),\quad P(A^c\cap B^c)=(1-a)(1-b) \end{eqnarray}$ , womit sich das oben auf eine 2x2-System für die Variablen $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ reduziert: $\begin{eqnarray} (1)\qquad (1-a)(1-b) = 0.72 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2)\qquad a(1-b) = 2.25 \cdot (1-a)b \end{eqnarray}$ . Kannst dir raussuchen, welcher Zugang dir besser gefällt.
27.05.2008, 07:11	groni	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, vielen dank. leider bleibe ich jetzt beim auflösen des gleichungssystemens jetzt hängen, da ich immer eine abhängig von r zu s und s zu r habe, auf deren auflösung ich jetzt nicht komme.... aus (4) erhalte ich durch einsetzen: $\begin{eqnarray} r^2+3,25rs+2,25(s^2+s)=0,28 \end{eqnarray}$ und weiter $\begin{eqnarray} r^2+3,25rs=0,28-2,25(s^2+s) \end{eqnarray}$ und für (3) erhalte ich $\begin{eqnarray} r=r^2+3,25sr+2,25s^2 \end{eqnarray}$ und durch einsetzen $\begin{eqnarray} r=0,28-2,25(s^2+s)+2,25s^2 \end{eqnarray*}$ und jetzt beisst es leider wieder aus. irgendwie steh ich bei der aufgabe ziemlich auf dem schlauch und dreh mich nur im kreis....... vielen dank schon mal gruß groni

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