Selbstadjungierte Matrix

05.02.2006, 09:17	Mattes_01	Auf diesen Beitrag antworten »
Selbstadjungierte Matrix Hallo zusammen! Und zwar habe ich mal wieder ein Problem: Ich wollte mal fragen, wieso die Summe vom Betrag jedes Elementes im Quadrat jeder Selbstadjungierten Matrix gleich der Eigenwerte im Quadrat ist (multipliziert mit der jeweiligen Vielfachheit)! Hat da jemand von euch eine Idee oder einen Ansatz, weil ich komme da zu garnichts?!? Gruss Mattes
05.02.2006, 11:50	Mattes_01	Auf diesen Beitrag antworten »
keiner ne Idee?
05.02.2006, 14:35	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Selbstadjungierte Matrix Hallo, 1. Push-posts und Ungeduld fördern nicht schnelle Antworten - im Gegenteil. 2. Für mich ist deine Frage völlig unverständlich - und da dir niemand geantwortet hat, geht das wohl nicht nur mir so. Bitte benutze Formeln. Eine gute Antwort setzt eine gute Formulierung der Frage voraus. Gruß Anirahtak
05.02.2006, 21:38	Mattes_01	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit dem Post war ein versehen, habe ein paar Formeln testen wollen und die dann mehrfach gepostet und dann habe ich die editiert. Desweiteren ging ich davon aus, dass die Beschreibung selbstklärend ist, abe das ist jetzt auch egal, da ich morgen die dafür nötigen erklärungen bekommen werde. Gruss
05.02.2006, 22:16	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das die Aussage $\begin{eqnarray} (\sum_{i,j=1}^n~\\| a_{ij}\\|)^2 = (\sum_{i = 1}^k~\lambda_i \cdot a(\lambda_i))^2 \end{eqnarray}$ für eine Matrix A mit $\begin{eqnarray} <Av,w> = <v,Aw> \end{eqnarray}$ ? (ich kann aus Deinem Text leider nicht schliessen wo die Quadrate hinsollen)
06.02.2006, 07:09	Mattes_01	Auf diesen Beitrag antworten »
ok $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~ \sum_{j=1}^n~ \mid a_{ij} \mid ^2 \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sum_{l=1}^k~{a_l \lambda_l^2 } \end{eqnarray}$ Soll ausserdem das gleiche ein wie die Hilbert Schmidt Norm....
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06.02.2006, 13:02	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aussage gilt doch dann nur noch wenn Du n paarweise verschiedene Eigenwerte hast. Wenn k die Anzahl der EW von A ist sollte die zweite Summe (rechte Seite) nicht dann von 1 bis k laufen? Ansonsten kriegen die vielfachheiten von den mehrfachen EW zu hohes gewicht. edit Ja die Aussage muss so lauten, seien $\begin{eqnarray} \lambda_1,\lambda_2 ... \lambda_k \end{eqnarray}$ die Eigenwerte der selbstadjungierten Matrix dann ist $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~ \sum_{j=1}^n~ \mid a_{ij} \mid ^2 = \sum_{i=1}^k~a(\lambda_i)\lambda_i^2 \end{eqnarray}$ Das sieht man sofort an der Einheitsmatrix der Größe n, diese ist selbstadjungiert und hat den Eigenwert 1 mit der algebraischen Vielfachheit n. Die Summe der Elemente im Betrag zum Quadrat ist n, würde man die Formel so benutzen wie Du sie geschrieben hast wäre aber die Summe über jeden Eigenwert gerade n². Damit geht also die Summe über die Anzahl der Eigenwerte und nicht über n auf der rechten Seite. Dann kann ich mir ja solangsam mal Gedanken zum Beweis machen.
07.02.2006, 16:30	Mattes_01	Auf diesen Beitrag antworten »
also habe es mitlerweile auch rausbekommen: selbstadjungiert = diagonalisierbar daraus folgt, dass die Spur = der Summe der Eigenwerte ist Wenn man nun die diagonalisierte Matrix mit sich selbst multipliziert, erhält man die Eigenwert im Quadrat, wie die Hilbert Schmidt Norm auch besagt Danke dir trotzdem! Gruss Mattes

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