linear abhängig ...

05.02.2006, 13:44	hxh	Auf diesen Beitrag antworten »
linear abhängig ... Die Aufgabe lautet, dass ich a so bestimmen soll, damit die drei vektoren linear abhänigig sind. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a^3 \\ a^2 \\ a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 27 \\ 9 \\ a^5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So es ist klar, dass ich jetzt ein Gleichungssystem aufstellen muss und dann erstmal variablen eliminieren muss und dann a ausklammere. Gut trotzdem hänge ich irgendwo fest. ra^3 + s + 27t =0 (1) ra^2 + s + 9t =0 (2) ra + s + ta^5 =0 (3) Zuerst (1) - (2) ra^3+ 18t =0 Dann (2)-(3) ra^2-ra+9t-ta^5 =0 Nun weiß ich nicht, wie ich das t eleminieren soll. Ich habs mit Division versucht, aber das hat nichts geholfen.
05.02.2006, 13:47	marci_	Auf diesen Beitrag antworten »
machs besser so: s(a³/a²/a)+t(27/9/a^5)=(1/1/1)
05.02.2006, 13:52	hxh	Auf diesen Beitrag antworten »
damit komme ich auch zu dem Problem, dass ich t nicht wegbekomme =/
05.02.2006, 14:45	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du Determinanten kennst, dann geht es einfach: Determinante der drei Vektoren gleich Null setzen und die zugehörigen $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ berechnen. Falls du Determinanten nicht kennst, dann mache es so: Gesucht sind nichttriviale Lösungen $\begin{eqnarray} \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 \end{eqnarray}$ des Gleichungssystems: $\begin{eqnarray} \begin{matrix} \text{I} & a \, \lambda_1 + \lambda_2 + a^5 \lambda_3 = 0 \\ \text{II} & a^2 \lambda_1 + \lambda_2 + 9 \lambda_3 = 0 \\ \text{III} & a^3 \lambda_1 + \lambda_2 + 27 \lambda_3 = 0 \end{matrix} \end{eqnarray}$ Addiere das $\begin{eqnarray} (-1) \end{eqnarray}$ -fache von $\begin{eqnarray} \text{I} \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} \text{II} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \text{III} \end{eqnarray}$ . Du erhältst zwei neue Gleichungen $\begin{eqnarray} \text{II'} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \text{III'} \end{eqnarray}$ ohne $\begin{eqnarray} \lambda_2 \end{eqnarray}$ . Addiere dann das $\begin{eqnarray} (-1-a) \end{eqnarray}$ -fache von $\begin{eqnarray} \text{II'} \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} \text{III'} \end{eqnarray}$ . Du bekommst $\begin{eqnarray} \text{III''} & (a^6-9a+18) \lambda_3 = 0 \end{eqnarray}$ Wenn du nun die reelle Funktion $\begin{eqnarray} f(a) = a^6 - 9a+18 \end{eqnarray}$ betrachtest, so hat diese wegen des Grades 6 ein globales Minimum. Dieses muß auch ein lokales sein. Wegen $\begin{eqnarray} f'(a) = 6a^5 - 9 = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ a = a_0 = \sqrt[5]{\frac{3}{2}} < 2 \end{eqnarray}$ hat dieses Minimum einen Wert $\begin{eqnarray} f(a_0) = a_0^5 \cdot a_0 - 9a_0 + 18 = \frac{3}{2} \, a_0 - 9a_0 + 18 = - \frac{15}{2} \, a_0 + 18 > - \frac{15}{2} \cdot 2 + 18 = 3 \end{eqnarray}$ . Dies zeigt, daß $\begin{eqnarray} a^6 - 9a + 18 \end{eqnarray}$ niemals $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ wird, so daß du $\begin{eqnarray} \text{III''} \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \lambda_3 \end{eqnarray}$ auflösen kannst. Beim weiteren Auflösen nach $\begin{eqnarray} \lambda_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda_1 \end{eqnarray}$ mußt du dann Fallunterscheidungen vornehmen. Versuche es einmal selbst weiter.
05.02.2006, 14:58	hxh	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab mir auch schon den Gedanken mit dem Minimum gemacht (bei mir war es ein Maximum, weil die Vorzeichen anders waren). Auf jedenfalls kommt dann für a=1 raus. Mein Problem war jedoch, dass ich nicht wusste, wie ich dieses Ergebniss erklären oder interpretieren kann. WEnn a=1 ist dann wäre r=s und t muss immer null sein, dann gibt es unendlich viele Lösungen, also sind die 3 l.a. Ja ich kenne die Determinanten, irgendwie hat sich aber alles weggekürtzt, als ich diese Regel von Sarrus angewandt habe. Ich versuche das nochmal. Gut mit der Determinanten hab ich es lösen können. a^8 - a^7 -9a^3 +27a²-18a = 0 Hat mein GTR als Nullestellen 0 und 1 ausgespuckt. Null kann man dann ja ausschließen und weitere Fallunterscheidungen sind nicht zu machen.

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