Dezimaldarstellung

26.05.2008, 13:29

suße Maus

Dezimaldarstellung

Hallöchen ihr alle Wink

!!!
Könnt ihr mir bitte einen Tipp geben, wie ich diese Aufgabe lösen könnte:

Wie lauten die letzten 3 Ziffern der Dezimaldarstellung von $\begin{eqnarray*} 9^{{(9^9)}} \end{eqnarray*}$ ?

26.05.2008, 14:02

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Von außen nach innen vorarbeiten! Die letzten drei Dezimalstellen heißt: Betrachtung des Ausdrucks modulo 1000.

Da 9 teilerfremd zu 125 ist, besagt der Satz von Fermat-Euler:

$\begin{eqnarray*} 3^{\varphi(125)} = 3^{100} = 9^{50} \equiv 1\mod 125 \end{eqnarray*}$

zusammen mit $\begin{eqnarray*} 9^n\equiv 1^n = 1\mod 8 \end{eqnarray*}$ dann auch $\begin{eqnarray*} 9^{50}\equiv 1\mod 1000 \end{eqnarray*}$ . Das sollte schon mal einen Schritt weiterhelfen.

26.05.2008, 17:35

suße Maus

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Wie kommst du von meiner Aufgaben auf 9 ist teilerfremd zu 125?

26.05.2008, 17:50

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Weil es so ist - oder nenne mir mal einen gemeinsamen Teiler der beiden!

Oder meinst du, warum ich das benutze? Nun, $\begin{eqnarray*} 1000 = 2^3 \cdot 5^3 \end{eqnarray*}$ , da liegt es doch auf der Hand.

26.05.2008, 18:04

suße Maus

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Tut mir leid ich steh total aufm Schlauch.
Dass $\begin{eqnarray*} 1000=2^{3} \cdot 5^{3} \end{eqnarray*}$ ist mir sicherlich klar. Wie kommst du dann auf 9 ist teilerfremd zu 125? Darf man das einfach so.

26.05.2008, 18:38

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Ich frage mich ernsthaft, wieviel du dir zu der Aufgabe schon selbst überlegt hast, wenn du derartige Fragen stellst.

Wie würdest du denn an die Aufgabe rangehen?

-------------------------

Ich für meinen Teil finde die obige Aussage $\begin{eqnarray*} 9^{50} \equiv 1 \mod 1000 \end{eqnarray*}$ ganz hilfreich, weil daraus nämlich aus $\begin{eqnarray*} x\equiv y\mod 50 \end{eqnarray*}$ sofort $\begin{eqnarray*} 9^x \equiv 9^y \mod 1000 \end{eqnarray*}$ folgt.

Somit kann man von der Potenz $\begin{eqnarray*} 9^{9^9} \end{eqnarray*}$ den Exponenten $\begin{eqnarray*} 9^9 \end{eqnarray*}$ modulo 50 reduzieren und das ganze damit schon viel freundlicher gestalten.

EDIT: Aha, ok, ich hab mich wegen einer anderen Variante etwas verschrieben: Die Umformung oben basiert natürlich auf der Teilerfremdheit von 3 und 125, d.h., 3 statt 9. War es das, was du gemeint hast - in dem Fall hättest du die Nachfrage aber etwas genauer stellen können.

26.05.2008, 18:44

irre.flexiv

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Zitat:

Wie kommst du dann auf 9 ist teilerfremd zu 125?

$\begin{eqnarray*} ggT (9,125) = 1 \end{eqnarray*}$ ist die Voraussetzung um den Satz von Fermat-Euler anwenden zu können, der sagt dir doch was oder?

26.05.2008, 18:54

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@irre.flexiv

Am besten, du übernimmst. Offenbar verstehst du die Nachfragen besser als ich, der sie zu wortwörtlich nimmt. Big Laugh

27.05.2008, 09:00

suße Maus

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Ich frage mich ernsthaft, wieviel du dir zu der Aufgabe schon selbst überlegt hast, wenn du derartige Fragen stellst.

Danke, dass ihr euch bemüht habt mir zu helfen. Aber solche Aussagen find ich nicht in Ordnung. Warum meinst du dass ich so dumme Fragen stelle?
-Weil ich es nicht kapiere-
Wüsste ich von was du da schreibst hätte ich die Aufgabe auch selber lösen können.
Tut mir leid wenn ich zu blöd für euch bin...

27.05.2008, 11:21

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Es geht darum, dass eine Frage wie

"Wie kommst du darauf, dass 9 und 125 teilerfremd sind"

im Hochschulbereich wirklich eine dumme Frage ist:

Die Teilerfremdheit der beiden kann man leicht nachprüfen, ob nun über Primfaktorzerlegung (was bei so kleinen Zahlen vielleicht die beste Variante ist) oder Euklidischen Algorithmus.

Solltest du dagegen das von irre.flexiv vermutete gemeint haben, dann hast du deine Frage eben sprachlich äußerst ungeschickt gestellt. Die hätte dann eher etwa so lauten sollen:

"Wieso betrachtest du die Teilerfremdheit von 9 und 125?" oder "Was nützt hier der Satz von Fermat-Euler?" etc.

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