Taylorreihe

05.02.2006, 13:52

glocke

Taylorreihe

hallo gemeinde.

zum semesterende wurden taylorreihen eingeführt und es gibt die ein oder
andere stelle verständnisprobleme meinerseits. da wäre diese potenzreihe als beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~(-1)^nx^{2n} \end{eqnarray*}$

a ist somit 0 und der konvergenzradius ist 1 (geomtrische reihe)
und die grenzfunktion lautet

$\begin{eqnarray*} f(x):=\frac{1}{1+x^2}. \end{eqnarray*}$

anschließen kommt dieser satz:

die grenzfunktion ist auf ganz IR definiert und beliebig oft differenzierbar, aber die Taylorreihe konvergiert nur auf (-1,1).

und da komme ich ins grübeln verwirrt

die taylorreihe dieser funktion hat doch die form:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~ \frac{1}{n!}(\frac{1}{1+a^2})^{(n)}(x-a)^n \end{eqnarray*}$

wo kann man den konvergenzraduis der taylorreihe denn ablesen, oder ist der hier einfach vom himmel gefallen ? oder muß man ihn hier gar ausrechnen ?

greez
glocke

05.02.2006, 14:06

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von glocke
die taylorreihe dieser funktion hat doch die form:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~ \frac{1}{n!}(\frac{1}{1+a^2})^{(n)}(x-a)^n \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Richtig ist (beachte, dass hier die Taylorreihe um den Nullpunkt gemeint ist):

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \end{eqnarray*}$ .

Nun ist es aber so, dass folgender Satz gilt: Wenn

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}~a_nx^n \end{eqnarray*}$

gilt auf einem Intervall $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ sei also das Intervall, welches alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Werte enthält, für die die Potenzreihe konvergiert), dann ist diese Potenzreihe auch die Taylorreihe der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf diesem Intervall und aus einem anderen Satz folgt dann wieder, dass die Taylorreihe von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch genau auf demselben Intervall $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Gruß MSS

05.02.2006, 14:30

glocke

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn eine funktion also selbst eine potenzreihe ist und einen eigenen
entwiklungspunkt hat, so sind funktion und taylorreihe gleich.
beispiele wären die exponentialfunktion, sinus und cosinus, wobei diese auf dem ganzen definitionsbereich konvergieren.

aber kehren wir nochmals zum vorherigen beispiel zurück.
nehemen wir an, wir hätten eine funktion gegeben:

$\begin{eqnarray*} f(x):=\frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$ und wir betrachten sie auf ganz IR

d.h. für alle x mit |x|<1 existiert eine darstellung als potenzreihe, für die
anderen nicht. nun soll die taylorreihe dieser funktion bestimmt werden.
wie handhabt man das ?

greez
glocke

05.02.2006, 20:11

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt lässt sich das ebenfalls mit einem Satz abhandeln. Angenommen, es gäbe eine andere Potenzreihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~a_nx^n \end{eqnarray*}$

mit einem Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} r>1 \end{eqnarray*}$ , sodass

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~a_nx^n=\frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

auf $\begin{eqnarray*} (-r,r) \end{eqnarray*}$ gilt. Dann muss zumindest für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ gelten:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~a_nx^n=\sum_{n=0}^{\infty}~(-1)^nx^{2n} \end{eqnarray*}$ .

Aus dem Identitätssatz für Potenzreihen folgt aber daraus, dass die beiden Potenzreihen vollkommen identisch sind, d.h.:

$\begin{eqnarray*} a_n=\begin{cases} (-1)^n & \text{für }n\text{ gerade} \\ 0 & \text{für }n\text{ ungerade}\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt erkennt man aber, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~a_nx^n \end{eqnarray*}$ ebenfalls den Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ haben muss, im Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} r>1 \end{eqnarray*}$ . Also gibt es keine solche Potenzreihe und da jede Taylorreihe eine Potenzreihe ist, dürfte deine Frage damit beantwortet sein.

Gruß MSS

Neue Frage »

Antworten »

Taylorreihe

Verwandte Themen