Winkel berechnung bei den Platonischen Körpern

Neue Frage »

sonnensera Auf diesen Beitrag antworten »
Winkel berechnung bei den Platonischen Körpern
Hallo!
Es geht um folgende Aufgabe:
Berechnen sie für jeden Plat. Körper den Winkel, welchen zwei Flächen an einer gemeinsamen Kante einschließen.

Wir haben das mit dem Skalarprodukt berechet, also lautet ja die formel:
Winkel A,B= arccos A*B : /A/mal /B/

Aber irgendwie kommen bei mir bei fast jedem Köper die gleichen Winkelgrößen raus. (die Koordiaten sind ja auch alle sehr ähnlich)
So müsste doch beim Wüfel der Winkel 90° betragen oder?
Kann mir jemand vielleicht einen kleinen Tipp geben was ich falsch mache?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das Skalarprodukt nützt dir aber nur was, wenn du die Vektor- bzw. Punktkoordinaten z.B. von den Flächenmittelpunkten hast. Die fallen beim Dodekaeder oder Iskosaeder auch nicht gerade vom Himmel, also woher hast du die da?

Zitat:
Original von sonnensera
So müsste doch beim Wüfel der Winkel 90° betragen oder?

Das ist zweifelsohne richtig. Augenzwinkern
sonnensera Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe die Eckkoordinaten der plat. Körper.
beim Tetraeder sind diese ja
(1,1,1) , (-1,-1,1) , (1,-1,-1) und (-1,1,-1) aber wie gehe ich denn jetzt weiter vor.
Wie gesagt, wenn ich das so berechne wie am Beispiel, kommen doch immer die gleichen winkel raus da sich die koordinaten ja nciht wirklich voneinander unterscheiden!?!?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Beim Tetraeder mag das mit den Eckpunkten noch so einfach klappen, beim Oktaeder und Würfel kann man das auch noch schön übersichtlich hinbiegen.

Beim Dodekaeder und Ikosaeder ist es damit aber vorbei, deswegen würde ich den Weg über Koordinaten hier nicht empfehlen. Oder musst du am Ende diese beiden dann echt schwierigeren Fälle gar nicht betrachten?

Zitat:
Original von sonnensera
kommen doch immer die gleichen winkel raus da sich die koordinaten ja nciht wirklich voneinander unterscheiden!?!?

Das musst du mal näher ausführen, weil ich überhaupt nicht verstehe, was du damit meinst. unglücklich
sonnensera Auf diesen Beitrag antworten »

naja also wir haben ein beispiel mit dem Oktaeder gemacht, und haben als A= (1,1,1) und als B= (1,1,-1) also koordinaten genommen.
Dann das skalarprodukt usw. und haben dann Alpha = 109,47° rausbekommen.

ok ich fomuliere meine Frage nochmal um... wie komme ich auf diese A und B werte. Als Eckkoorinaten beim Oktaeder hatten wir (+-1, 0,0) , (0,+-1,0) und (0,0,+-1). wie komme ich von diesen Koordinaten auf meinen A und B wert? vielleicht liegt hier ja mein Fehler. da ich in die Formel immer die direkten Eckkoordinaten eingegeben habe.
Verstehtst du jetzt besser was ich meine?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Na gut, bleiben wir erstmal beim Tetraeder:

Die Seitenmitte eines regelmäßigen -Ecks (als Seitenfläche) hat den Ortsvektor

,

ausgehend von den Ortsvektoren der Seiteneckpunkte. Das kannst du ja mal für zwei Seitenmittelpunkte und deines Tetraeders berechnen.

Anschließend brauchst du noch den Kantenmittelpunkt derjenigen Tetraederkante, wo die beiden gerade erwähnten Seiten aneinandertreffen.

Und in diesem Dreieck ist dann ein Winkel zu berechnen - welcher das ist, da streng mal dein räumliches Vorstellungsvermögen an.

Zitat:
Original von sonnensera
Verstehtst du jetzt besser was ich meine?

Nur insoweit, dass du von den zwei eher leichten Platonischen Körpern auf die Allgemeinheit aller 5 Körper schließt. Und das geht schief.

Außerdem sind es auch für Tetraeder und Oktaeder NICHT dieselben Koordinaten. Nur weil da jeweils +1, -1, 0 als Koordinatenwerte auftauchen, sind das insgesamt gesehen noch lange nicht dieselben Eckpunktkoordinaten!!!
 
 
sonnensera Auf diesen Beitrag antworten »

Das verstehe ich nicht! ich habe ja eine Beispielaufgabe, doch ich verstehe einfach nicht wie man auf den A und auf den B wert kommt. Das sind ja nicht die Eckkoordinaten... aber welche koordinaten dann?
Die weiteren Formeln hab ich alle, vielleicht habe ich auch einfach einen denkfehler, aber ich blicke im moment nicht durch warum der A wert beim Oktaeder z.b. (1,1,1) ist.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sonnensera
aber ich blicke im moment nicht durch warum der A wert beim Oktaeder z.b. (1,1,1) ist.

Das sind ja bei deinen angegeben Eckpunkten auch gar nicht die Seitenmittelpunkte, sondern jeweils ein Drittel davon, in Ortsvektorrichtung gesehen. Diese Streckung macht letztendlich für den Winkel nichts aus. Das war jetzt aber mein letztes Wort zu diesen Koordinatenlösungswegen, die ich wie oben gesagt für wenig ausbaufähig für die größeren platonischen Körper halte.
sonnensera Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar trotzdem danke! wir sollen die aufgabe mit diesem weg lösen... also muss ich da wohl durch!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann hoffe ich für dich, dass dir die Eckpunktkoordinaten von Dodekaeder und Ikosaeder vorgegeben wurden. Von Hand ist deren Ausrechnen eine Heidenarbeit und am Ende viel aufwändiger, als die Berechnung der gesuchten Winkel. Viel Spaß noch! Wink
sonnensera Auf diesen Beitrag antworten »

ja die eckpunkte habe ich auch von den Beiden... inwieweit sie mir weiterhelfen, werde ich sehen....
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »