Matherätsel [gelöst]

26.05.2008, 17:33	vplesker	Auf diesen Beitrag antworten »
Matherätsel [gelöst] kann mir jemand dabei helfen? Bei vier Zahlen gibt es sechs verschiedene Möglichkeiten, jeweils zwei davon zu Multiplizieren Fünf dieser Produkte seien 2,3,4,5 und 6. Das sechste sei X ????? Grüße
26.05.2008, 17:38	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} X=2.4 \end{eqnarray}$
26.05.2008, 17:40	vplesker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähm... ich glaub da muß ne ganze zahl bei rauskommen..... aber mehr weiß ich leider auch nicht....
26.05.2008, 17:42	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 2.4 \end{eqnarray}$ ist die einzig mögliche reelle Lösung - es gibt keine ganzzahlige Lösung für das Problem.
26.05.2008, 22:19	vplesker	Auf diesen Beitrag antworten »
Tatsache... danke für die Hilfe!!!
27.05.2008, 05:26	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hier noch kein Lösungsweg steht, maße ich mir mal an, diesen zu posten. Seien a,b,c,d die Zahlen. Ohne Einschränkung sei X = cd. Multiplizieren wir alle Produkte ab, ac, ad, bc, bd, cd miteinander, so kommen wir auf die Gleichung $\begin{eqnarray} a^3b^3c^3d^3 = 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot X = 720\cdot X \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} a^3b^3X^3 = 720\cdot X \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} (ab)^3 X^2 = 720 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} X^2 = \frac{720}{(ab)^3} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} X = \frac{12 \sqrt{5}}{ab\sqrt{ab}}. \end{eqnarray}$ Für das Produkt ab gibt es die 5 Möglichkeiten 2,3,4,5 und 6. Da X aber wegen $\begin{eqnarray} X = cd = \frac{(ad)(bc)}{ab} \end{eqnarray}$ rational ist, MUSS ab = 5 bzw. X = 2.4 sein. EDIT: Hier noch ein Zahlenbeispiel: $\begin{eqnarray} a = \sqrt{\frac{10}{3}}, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b = \sqrt{7.5}, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c = \sqrt{1.2}, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d = \sqrt{4.8}. \end{eqnarray}$
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27.05.2008, 10:50	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Interessanterweise ist mein Zugang substanziell anders, deswegen lege ich ihn auch mal noch dar: Die vier Zahlen mögen $\begin{eqnarray} a,b,c,d \end{eqnarray}$ sein, wobei o.B.d.A. Produkt $\begin{eqnarray} cd \end{eqnarray}$ in der Aufzählung fehlen möge - also alle Bezeichnungen wie bei WebFritzi. Gegeben sind also als Menge geschrieben $\begin{eqnarray} \{2,3,4,5,6\} = \{ab,ac,ad,bc,bd\} \end{eqnarray}$ . Nun ist $\begin{eqnarray} ac\cdot bd = ad\cdot bc \end{eqnarray}$ , d.h. der Wert $\begin{eqnarray} abcd \end{eqnarray}$ muss unter den Produkten von jeweils zwei der fünf Elemente von $\begin{eqnarray} \{2,3,4,5,6\} \end{eqnarray}$ mindestens zweimal vorkommen. Das trifft nur auf den Wert 12 zu: $\begin{eqnarray} 12 = 2\cdot 6 = 3\cdot 4 \end{eqnarray}$ Wegen $\begin{eqnarray} abcd = ab\cdot cd \end{eqnarray}$ folgt dann das fehlende Restprodukt $\begin{eqnarray} cd = \frac{12}{ab} = \frac{12}{5} = 2.4 \end{eqnarray}$ . P.S.: $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist eindeutig festgelegt, $\begin{eqnarray} a,b,c,d \end{eqnarray}$ aber nicht: Eine anderes passendes Quadrupel als das von WebFritzi angegebene ist z.B. $\begin{eqnarray} a = \sqrt{10},\quad b = \sqrt{2.5},\quad c = \sqrt{1.6},\quad d = \sqrt{3.6} \end{eqnarray}$
28.05.2008, 03:38	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Weg ist schöner. Ich hatte mit meiner Haudrauf-Methode den Weg mit a³b³c³d³ eingeschlagen. Ich wusste lange nicht, wie ich zeigen soll, dass cd rational sein muss. Bis es mir dann einfiel. Und genau hier wird ansatzweise deine Überlegung deutlich (abcd = adbc). Dann war es aber schon zu spät, deinen Weg zu sehen, denn der Beweis war erbracht.

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