Taylor mit Integralrestglied

26.05.2008, 19:51	Dunkit	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylor mit Integralrestglied Hallo alle zusammen, Ich bin mal wieder zu blind meinen Fehler zu finden, oder zu blind den letzten Schritt zu tun Beh. $\begin{eqnarray} f(x) = T_{x_0,n} (x) + \int_{x_0} ^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) dt \end{eqnarray}$ Ich hab's per Induktion gemacht, n=0 folgt aus dem HS, ich versuche von n-1 auf n zu schließen Es gelte also $\begin{eqnarray} f(x) = T_{x_0,n-1} (x) + \int_{x_0} ^x \frac{(x-t)^{n-1}}{n-1!} f^{(n)}(t) dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow f(x) - T_{x_0,n-1} (x) = \int_{x_0} ^x \frac{(x-t)^{n-1}}{n-1!} f^{(n)}(t) dt \end{eqnarray}$ per partieller Integration erhalte ich $\begin{eqnarray} f(x) - T_{x_0,n-1} = - \frac{1}{n!} (x-x_0)^n f^{(n)} (x_0) - \int _{x_0} ^x \frac{1}{n!} (x-t)^n f^{(n+1)} dt \end{eqnarray}$ Da stimmt doch jetzt ein Vorzeichen nicht, oder? bzw eigtl sind doch beide Vorzeichen auf der rechten Seite genau falsch?!
26.05.2008, 20:00	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Du integrierst bzgl. $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ , nicht bezüglich $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Somit ist $\begin{eqnarray} \int ~ (x-t)^{n-1} ~ \dd t = -\frac{1}{n} (x-t)^n + C \end{eqnarray}$ War's das?
26.05.2008, 20:08	Dunkit	Auf diesen Beitrag antworten »
jou, danke
26.05.2008, 20:22	Dunkit	Auf diesen Beitrag antworten »
Uuund da kommt auch schon die nächste Frage: ICh soll von diesem Restglied auf das Schlömilch-Restglied schließen. Ich habe also nach dem Mittelwertsatz umgeformt: $\begin{eqnarray} \int _{x_0} ^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) dt = f^{(n+1)}(\xi) \cdot \int _{x_0} ^x \frac{(x-t)^n}{n!} \end{eqnarray}$ Dieses Integral habe ich berechnet und habe dann aber statt dem SChlömilch Restglied, das von Lagrange erhalten xD nämlich (einfach das Integral ausrechnen) $\begin{eqnarray} =\frac{(x-x_0)^{(n+1)}}{(n+1)!} \cdot f^{(n+1)}(\xi) \end{eqnarray}$ Also falsch ist das Ergebnis ja nicht, es ist nur nich das, was ich haben wollte... Anm: Das Schlömilch Restglied wäre $\begin{eqnarray} \frac{(x-\xi)^{n-p+1}(x-x_0)^p}{n!p} \cdot f^{(n+1)}(\xi) \end{eqnarray}$ Ich habe also jetzt nur den Spezialfall p = n+1 erhalten...
27.05.2008, 00:08	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_{x_0}^x~\frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)~\mathrm dt=\int_{x_0}^x~(x-t)^{p-1}\cdot \frac{(x-t)^{n-p+1}}{n!}f^{(n+1)}(t)~\mathrm dt \end{eqnarray}$ . Versuchs jetzt nochmal mit dem zweiten Mittelwertsatz der Integralrechnung.
27.05.2008, 11:29	Dunkit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähm also ich kenne nur den einen Mittelwertsatz $\begin{eqnarray} \int_a ^b f(x) p(x) = f(\xi) \int _a ^b p(x) \end{eqnarray}$ Und im KÖnigsberger finde ich auhc nur den... EDIT: Danke, hat sich geklärt ;-)
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