Untermannigfaltigkeit

26.05.2008, 21:04

Bimmel+Bommel

Untermannigfaltigkeit

Sei M eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit des $\begin{eqnarray*} R^n \end{eqnarray*}$ , es bezeichne dist(x,y) die geodätische entfernung, also den kürzesten weg zwischen x und y der komplett auf der Untermannigfaltigkeiti liegt.

Wieso existiert dann ein c mit
$\begin{eqnarray*} dist(a,b) \leq c \cdot ||a-b|| \end{eqnarray*}$

Würde das so begründen:

ist die geödatische Entfernung echt kleiner, so kann man c=1 wählen.

ist die geodätische entfernung größer als der euklidische abstand, so kann man das c auch so wählen das die ungleichung gilt.

also das sowas geht scheint mit klar, aber wie beweise ich das?

26.05.2008, 21:07

Dual Space

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RE: Untermannigfaltigkeit

Zitat:

Original von Bimmel+Bommel
Würde das so begründen:

ist die geödatische Entfernung echt kleiner, so kann man c=1 wählen.

ist die geodätische entfernung größer als der euklidische abstand, so kann man das c auch so wählen das die ungleichung gilt.

Nein so geht das eben nicht. Augenzwinkern

c soll eine uniforme Konstante sein, so dass die Ungleichung für alle möglichen Punkte a und b der Mannigfaltigkeit gilt.

26.05.2008, 21:16

Bimmel+Bommel

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ah ok, das macht sinn. dann fließt da die differenzierbarkeitseigenschaft des diffeomorphismus ein?

26.05.2008, 21:16

Dual Space

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Welcher Diffeomorphismus?

26.05.2008, 21:28

Bimmel+Bommel

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differenzibare Mannigfaltigkeit heißt doch das ein solcher Diffeomorphismuss existiert oder nicht?

"Eine Teilmenge K des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^N \end{eqnarray*}$ heißt m-dimensionale differenzierbare Untermannigfaltigkeit, wenn es ein offenes $\begin{eqnarray*} U \subseteq \mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ und zu jedem $\begin{eqnarray*} p \in K \end{eqnarray*}$ eine offene Umgebung V gibt und es existiert ein injektiver Diffeomorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi : U \to \mathbb{R}^N \end{eqnarray*}$ , so dass dieJakobimatrix vollen Rang k hat und $\begin{eqnarray*} \varphi(U) = K \cap V \end{eqnarray*}$ "

26.05.2008, 22:09

Dual Space

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Zitat:

Original von Bimmel+Bommel
"Eine Teilmenge K des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^N \end{eqnarray*}$ heißt m-dimensionale differenzierbare Untermannigfaltigkeit, wenn es ein offenes $\begin{eqnarray*} U \subseteq \mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ und zu jedem $\begin{eqnarray*} p \in K \end{eqnarray*}$ eine offene Umgebung V gibt und es existiert ein injektiver Diffeomorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi : U \to \mathbb{R}^N \end{eqnarray*}$ , so dass dieJakobimatrix vollen Rang k hat und $\begin{eqnarray*} \varphi(U) = K \cap V \end{eqnarray*}$ "

Nun zugegeben: Differenzierbare Untermannigfalten sind nicht grad mein Steckenpferd. Aber eine Frage habe ich bzgl. obiger Definition(?). Und zwar ist dort von einem "injektiven Diffeomorphismus" die Rede. Sind Diffeomorphismen nicht definitionsgemäß bijektiv?

Entweder ist dort ist was doppelt gemoppelt, oder ich hab mal wieder was nicht verstanden.

27.05.2008, 07:43

Bimmel+Bommel

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stimmt, da ist ein fehler in meinen unterlagen. zwei seiten zuvor steht in der definition des diffeomorphismus die bijektivität.

In der Definiton der Untermannigfaltigkeit muss die Abbildung injektiv sein und stetig differenzierbar

Nur wie komme ich jetzt auf diese Ungleichung

27.05.2008, 07:59

Dual Space

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RE: Untermannigfaltigkeit
Mal noch eine Bemerkung hierzu:

Zitat:

Original von Bimmel+Bommel
ist die geödatische Entfernung echt kleiner, so kann man c=1 wählen.

Dieser Fall ist nicht möglich. Die geodätische Distanz ist in diesem Falle immer größer oder gleich der euklidischen.

27.05.2008, 09:36

Bimmel+Bommel

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ok, also es gilt immer nach Definition der geodätischen entfernung
$\begin{eqnarray*} ||a-b|| \leq dist(a,b) \end{eqnarray*}$
(folgt doch aus der Dreiecksungleichung; zumindest anschaulich?)

Kann ich denn dann so argumentieren, das ich ein so großes c wählen kann das obige ungleichung gilt?

27.05.2008, 10:23

Dual Space

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Du musst wenigstens eine untere Schranke für c angeben, die natürlich nicht von den Punkten a und b abhängen darf.

Leider bin ich in der Differenzialgeometrie nicht hinreichend genug bewandert um dir zu sagen, wie das geht. Vermutlich könnte die Krümmung der Untermannigfaltigkeit nützlich sein. Diese sollte wegen der Differenzierbarkeit an jedem Punkt endlich sein.

03.06.2008, 19:02

Bimmel+Bommel

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ich habe mich wieder mit dem Problem beschäftigt:

Die geodätische Distanz ist
$\begin{eqnarray*} dist(a,b) := \inf \{ L(c) \mid c \, \mbox{ist Weg auf der Fläche zw. a und b} \} \end{eqnarray*}$
Dabei ist L(c) die Länge von c

Nun habe ich den Ansatz:
$\begin{eqnarray*} dist(a,b) := \inf \{ L(c) \mid c \, \mbox{ist Weg auf der Fläche zw. a und b} \} \leq \int_a^b~||c'(t)||~dt \end{eqnarray*}$

Kann das was bringen?

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