kontrahierend zeigen

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attze Auf diesen Beitrag antworten »
kontrahierend zeigen
Hallo smile

Ich denke jetzt schon einige Stunden an einer Aufgabe rum und komme einfach nicht weiter und hoffe auf einen Tip was ich übersehen haben könnte:

Seien mit . Sei eine stetig differenzierbare Funktion. Zeigen Sie, dass genau dann kontrahierend ist, wenn für alle .

Ich habe mir bisher folgenes überlegt:

zu zeigen:

Ansatz: ist stetig ist stetig nimmt maximum an und das soll sein.

Und hier habe ich mich glaub ich verannt. Ich weiß nicht weiter. Kann jemand helfen?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Kennst du den Mittelwertsatz der Differentialrechnung?
attze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Kennst du den Mittelwertsatz der Differentialrechnung?


Ja, den kenne ich smile Unter den Vorraussetzungen oben existiert ein , so dass . Ich stehe aber total auf dem Schaluch, wie ich abschätzen kann.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Mache doch erstmal auf beiden Seiten Betragsstriche drum.

Und dass gilt, ist doch Vorraussetzung.

Edit: Du solltest den Mittelwertsatz allerdings nicht auf a und b anwenden, sondern auf beliebige
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Man sollte vielleicht jeweils klären, über welche Beweisrichtung dieser Äquivalenz ("genau dann wenn") man gerade spricht... Augenzwinkern
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ups das ist mir gar nicht aufgefallen, dass es sogar um die Äquivalenz geht. Naja vielleicht lassen wir das den Threadersteller mal selbst herausfinden Augenzwinkern
 
 
attze Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor ich drüber nachdenke: Ich muss doch aber zeigen. D.h. ich muss doch irgendwie auf die kommen und dann umgekehrt. Oder habe ich das falsch verstanden? (Danke schonmal für dein Hinweise!)

Edit: Jetzt bin erfolgreich verwirrt worden. smile Ich versuche mich gerade an
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Um weiteren Missverständnissen vorzubeugen, sage ich jetzt einfach mal, dass ich erstmal auf die Richtung



hinauswollte.


Dir geht es also um die andere Richtung.
Dann denke doch mal an die Definition der Ableitung.
Beachte weiterhin: aus folgt auch
attze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe ganz furtchbar ein Brett vor dem Kopf.
f ist kontrahierend
ist klar, weil das ja gerade die Definition ist.

Aber umgekehrt ist mir das nicht klar, wie ich für ein belibiges ist abschätzen kann. Bin ich mit dem Ansatz oben überhaupt richtig?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Dann denke doch mal an die Definition der Ableitung.
attze Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Hinweise, aber ich komme nicht darauf. Auch nach ausgiebigem anstarren der Def. der Ableitung sehe ich nciht ein, wie ich das mit < 1 abschätzen kann. unglücklich
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von attze
f ist kontrahierend
ist klar, weil das ja gerade die Definition ist.

Sicher? Üblicherweise werden Kontraktionen über eine Bedingung an ihre Lipschitzkonstante definiert.
Ambrosius Auf diesen Beitrag antworten »

bei uns wurde die Kontraktion wie folgt erklärt (wie DualSpace schon sagte)

eine stetig differenzierbare Funktion heißt Kontraktion oder kontrahierende Abbildung, falls für alle gilt:


Deine aufgabe ist nun zu zeigen

f ist kontrahierend für alle

Also eine Äquivalenz, das heißt 2 Richtungen zu zeigen.

Schreibe dir zunächst die Aussage des MWS auf. Dann arbeite beide Richtugen nacheinander ab.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ambrosius
eine stetig differenzierbare Funktion heißt Kontraktion oder kontrahierende Abbildung, falls für alle gilt:

Abgesehen von dem, was ich gleich noch sagen werde, solltest du noch fordern.

Das ist nicht die allgemeingültige Definition und so wird die Aussage auch falsch! Die Rückrichtung gilt zwar immer noch, die andere Richtung aber nicht. Man betrachte dazu mit .

Normalerweise definiert man: heißt kontrahierend, falls es ein gibt, sodass für alle gilt:

.
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