Vertauschung von Inidizies an doppelter Summe

26.05.2008, 23:02

Klaus-Dieter

Vertauschung von Inidizies an doppelter Summe

Hallo,
wir haben folgende Doppelsumme, wobei dort die Indizes vertauscht werden:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty\sum_{n=3}^\infty~\frac{a_n}{k^n} = \sum_{n=3}^\infty\sum_{k=2}^\infty~\frac{a_n}{k^n} \end{eqnarray*}$

Laut einem Beweis darf man diese Vertauschung durchführen, nur fehlt dort das Argument. Soviel wie ich bisher rausbekommen habe, darf dies nur bei abs. konvergenz geschehen, wobei bei uns dies gegen ist, da a_n -> 0.
Nun würde ich gerne, wie der Satz heißt, dass man es vertauschen darf.
Evt. weiß ja jemand bescheid.

Danke im Vorraus.

27.05.2008, 08:09

system-agent

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RE: Vertauschung von Inidizies an doppelter Summe

Zitat:

Original von Klaus-Dieter
darf dies nur bei abs. konvergenz geschehen, wobei bei uns dies gegen ist, da a_n -> 0.

Das hat aber nichts mit der absoluten Konvergenz zu tun, denn dies muss sowieso gelten damit die Reihe überhaupt eine Chance hat zu konvergieren.

Absolute Konvergenz heisst:
Du hast eine konvergente Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k \end{eqnarray*}$ .
Falls nun auch noch die folgende Reihe konvergiert
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty}|a_k| \end{eqnarray*}$ [die $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ 's sind natürlich die Gleichen !]
dann heisst die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k \end{eqnarray*}$ absolut konvergent.

Den Satz den du meinst kenne ich unter "Umordnungssatz". Hier steht näheres.

27.05.2008, 08:22

Dual Space

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RE: Vertauschung von Inidizies an doppelter Summe

Zitat:

Original von system-agent
Das hat aber nichts mit der absoluten Konvergenz zu tun, denn dies muss sowieso gelten damit die Reihe überhaupt eine Chance hat zu konvergieren.

Ach ja?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty\sum_{n=3}^\infty~\frac{a_n}{k^n} = \sum_{k=2}^\infty(\frac{a_3}{k^3}+\frac{a_4}{k^4}+\dots) \end{eqnarray*}$

Die ersten zwei Summanden der Doppelreihe sind also $\begin{eqnarray*} \frac{a_3}{2^3},\frac{a_4}{2^4} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=3}^\infty\sum_{k=2}^\infty~\frac{a_n}{k^n} =\sum_{n=3}^\infty(\frac{a_n}{2^n}+\frac{a_n}{3^n}+\dots) \end{eqnarray*}$

Die ersten zwei Summanden sind demnach $\begin{eqnarray*} \frac{a_3}{2^3}, \frac{a_3}{3^3} \end{eqnarray*}$

Somit ist klar, dass die Vertauschung der Summationsindizes mit einer Umordnung einhergeht. Klaus-Dieters Vermutung ist also vollkommen richtig - zu zeigen ist, dass die Doppelreihe (vor der Vertauschung) absolut konvergiert.

27.05.2008, 13:57

system-agent

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Ich wollte damit eigentlich sagen, dass die Feststellung
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n=0 \end{eqnarray*}$
nicht mit der abs. Kgz zu tun hat.

27.05.2008, 15:08

Dual Space

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Womit du natürlich recht hast. Augenzwinkern

27.05.2008, 16:57

Mathespezialschüler

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Weil du nach dem Namen fragtest: Für Doppelreihen hat dieser Satz einen speziellen Namen - er heißt "Cauchyscher Doppelreihensatz".

27.05.2008, 20:28

Klaus-Dieter

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Hallo,
vielen Dank für eure Antworten.

Ich hätte noch eine Frage, und zwar:
Wenn ich $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty\sum_{n=3}^\infty~\frac{a_n}{k^n} = \sum_{n=3}^\infty\sum_{k=2}^\infty~\frac{a_n}{k^n} \end{eqnarray*}$ anwenden will, reicht es zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=3}^\infty~\frac{a_n}{k^n} \end{eqnarray*}$ absolut konvergent ist, sofern gezeigt wurde, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty\sum_{n=3}^\infty~\frac{a_n}{k^n} = c < \infty \end{eqnarray*}$ gilt?

MFG
Klaus-Dieter

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