Majorante, Minorante...

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merlin25 Auf diesen Beitrag antworten »
Majorante, Minorante...
Hallo,

ich habe mal ein paar kleine Verständnissfragen zur Konvergenz von Reihen.

Also hier zwei Beispiele zu denen ich Fragen habe.

1)

2)

Mein Problem ist es zu entscheiden, ob ich nach einer Majorante suche die konvergent ist oder nach einer Minorante die divergent ist. Gibt es eine Möglichkeit mit der man schon vor Beginn der Rechnung eine Entscheidung treffen kann?

Bei der ersten Aufgabe habe ich nach einer Majorante gesucht:



Da die Reihe konvergent ist folgt daraus das die Reihe in der Aufgabe absolut konvergent ist. Kann man das so machen?

Bei der zweiten Aufgabe habe ich kein zufriedenstellendes Ergebniss:



Habe ich damit eine divergente Minorante gefunden? Oder ist mein Weg falsch?

Vielen Dank für jede Hilfe
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Majorante, Minorante...
Aufgabe 1 ist vom Ergebnis ok. Aber bei Aufgabe 2 ist die Abschätzung falsch. Du mußt da im positiven Bereich bleiben.
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man sieht, das die Folge die der Reihe zugrunde liegt eine Nullfolge ist, muss die Reihe Konvergent sein.

zu den Umformungen bei 1)
Des geht so, evtl. könnte man der Vollständigkeit halber noch für n=1 das "Größer"-Zeichen in ein "Größer gleich" umwandeln.

\\edit: Anmerkung:

Die Einwände von therisen und klarsoweit stimmen natürlich.
So war das eigentlich auch nicht gemeint.
Ums genauer zu sagen:
Man sieht das die Nullfolge einen exponenten größer 1 hat, und die reihe somit dem verdichtungskriterium genügt.
begründung:die potenz des nenners um 2 größer ist als die des zählers.
hätte diesen gedankenschritt wohl doch mit hinschreiben sollen Augenzwinkern
merlin25 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!

Ich muss also im positiven Bereich bleiben?

Dann habe ich mal eine Frage. Kann ich auch oder benutzen um etwas zu verändern. Also Zahlen einfach damit ersetzen? Oder wird dann etwas falsch?

Dann gehe ich davon aus das oder auch größer sind als jede Zahl.

z.B.

Im Zähler 3 durch ersetzen und im Nenner 3 durch und im Nenner weglassen?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lazarus
Wenn man sieht, das die Folge die der Reihe zugrunde liegt eine Nullfolge ist, muss die Reihe Konvergent sein.



Nein!!! Das ist grob falsch! Dass die Folge der Glieder einer Reihe eine Nullfolge ist, stellt lediglich eine notwendige Bedingung für die Konvergenz der Reihe dar, keinesfalls aber eine hinreichende! Betrachte dazu


EDIT: @Fragesteller:

Zitat:
Mein Problem ist es zu entscheiden, ob ich nach einer Majorante suche die konvergent ist oder nach einer Minorante die divergent ist. Gibt es eine Möglichkeit mit der man schon vor Beginn der Rechnung eine Entscheidung treffen kann?


Naja, du kannst auch mit verschiedenen Konvergenzkriterien (z.B. Quotientenkriterium, Leibniz-Kriterium, Verdichtungskriterium (um einige zu nennen)) die Reihen auf Konvergenz hin untersuchen. Allerdings brauchst du dann keine Majorante/Minorante mehr anzugeben Augenzwinkern

Gruß, therisen
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lazarus
Wenn man sieht, das die Folge die der Reihe zugrunde liegt eine Nullfolge ist, muss die Reihe Konvergent sein.

Das halte ich für ein Gerücht. Siehe

@merlin25: du kannst abschätzen, wie du willst. Hauptsache die Ungleichungskette stimmt. Du mußt dabei natürlich unterhalb der konvergenten Majorante oder oberhalb der divergenten Minorante bleiben, je nachdem, was du zeigen willst.
 
 
merlin25 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die wirklich schnelle Hilfe.

Das es mehrere Kriterien gibt ist mir bekannt. Zur Zeit aber versuche ich nur das Majoranten-, Minorantenkriterium zu verstehen. Alles andrere dann danach.

OK dann versuch ich die zweite Aufgabe jetzt mal:



das ist doch nun hoffe ich eine divergente Minorante, da die Reihe divergent ist?

Und noch ein weiteres Beispiel (bin gerade eifrig am rechnen)

Folgende Aufgabe scheint mir irgendwie zu einfach stimmt das denn so?





ist das auch eine divergente Minorante?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von merlin25


ist das auch eine divergente Minorante?

Im Prinzip ja. Allerdings stimmt die Abschätzung nicht für jedes n, z.B. n=1.
merlin25 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist mir auch aufgefallen also kann ich das so nicht machen?

n geht doch aber gegen unendlich? Kann ich da nicht die Fälle n=1 und so weiter außer acht lassen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip ja. Trotzdem mußt du sagen, für welche n die Abschätzung gilt. Dabei darf man endlich viele Summanden (also meinetwegen die ersten 100) weglassen.
merlin25 Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn ich angebe für welche n es gilt ist es richtig in diesem Fall also für alle n>15.

Wenn ich also in einer Klausur die entsprechende Minorante finde und angebe für welche n meine Abschätzung gilt kann ich die Aussage machen, das die Reihe divergent ist?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es. Rock
merlin25 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann vielen Dank
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