komplexe Gleichung

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Spieky Auf diesen Beitrag antworten »
komplexe Gleichung
Hallo zusammen, ich habe mal eine etwas dumme Frage:
Kann mir jemand sagen, wie ich alle Lösungen der Gleichung z^3=1+i
finde? Das man die mit Polarkoordnaten bekommen kann, ist mir klar, aber wie bekomme ich die Polarkoordinaten und wie dann die Lösungen????
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komplexe Gleichung
Bringe 1+i in die Form
Spieky Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komplexe Gleichung
ähm, ja, habe ich auch schon überlegt, aber in dem Fall wäre, wenn ich nicht falsch gerechnet habe, kommen da dann allerdings später nicht die drei Lösungen raus... Kann man nicht auch r= 1+i setzen und dann in k von 0 bis n-1 laufen lassen??? Dann bekommt man Lösungen, die passen.
Marcyman Auf diesen Beitrag antworten »

r gibt die Länge der komplexen Zahl an, also in deinem Fall . Jetzt nur noch das passende Argument finden und das ist sehr leicht, da 1+i als Zahlenpaar im R^2 nichts anderes als (1,1) ist. Sagt dir das alles was?
Spieky Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das sagt mir was, wenn man den Ausdruck unter der Wurzel ausrechnet, kommt ja auch raus. Aber trotzdem sind die Ergebnisse, die ich dann da rausbekomme, nicht die, die rauskommen sollen, also wenn ich die Probe mache, kommt nich das raus, was soll... Deshalb ja vorhin mal die Überlegung, alle Lösungen zu erhalten, indem ich die wie folgt berechne: , also siehe oben. So bekäme ich doch dann auch die drei Lösungen, oder? Der letzte Teil wäre dann der, den ich bei der Berechnung der n-ten Einheitswurzel brauche. Geht das???
Denn wenn ich ehrlich bin, weiß ich gerade nicht, was es mir bringen soll, wenn ich die Gleichung in Polarkoordinaten schreibe, das hilft mir gerad irgendwie nicht weiter, um die Lösungen zu bekommen
Großes Fragezeichen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, das würde mich auch mal interessieren, wie man das mach. Also die Polarkoordinaten brauchst du soweit ich weiss um zunächst folgendes zu rechnen:





Wenn nun , dann ist





=> und


Und nun muss man für drei Lösungen finden, und damit hat man dann die drei Lösungen. Aber wie man das macht hab ich noch nie verstanden. Da kommen dann Brüche mit Pi raus und sowas... Hab das immer mit Computer ausrechnen lassen, aber in der Klausur z.b. müssen wir das auch so können....da scheiterts.

Vielleicht kann ja jemand nochmal sagen, wie man das ohne diese hilfreichen und nütlichen Programme macht Augenzwinkern
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Auch hier wieder mein trigonometriefreier Weg. Ein bißchen Probieren zeigt, daß



Lösung ist. Man kann daher einen Linearfaktor abspalten:



Der quadratische Faktor hat die Diskriminante



Nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen findet man die weiteren Lösungen:



Noch ein bißchen verschönert sind das



sind die drei Lösungen der Gleichung.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Großes Fragezeichen


=> und

Soll heißen: und
Im Gegensatz zu Leopold bin ich eher ein Freund von der Darstellung mit Polarkoordinaten. Aus der vorigen Gleichung erhalten wir:
==>
Damit ist also
Wegen der 2pi-Periode sind weitere Möglichkeiten:
und
Daraus läßt sich nun ziemlich einfach die 3. Wurzel ziehen.
Großes Fragezeichen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ja wir müssen das eigentlich auch mit der trigonometrischen Form lösen, obwohl das von Leopolds Lösung auch schön aussieht Augenzwinkern



Aber wie kommts du jetzt, so ganz ohne Taschenrechner darauf, dass sind? Das ist ja genau mein Problem, nämlich diese Werte dann zu finden. Muss man sich die Funtkionen aufmalen und das dann ablesen? In der Klausur bekommen wir irgendwelche Tabellen, aber um ehrlich zu sein, weiss ich glaub ich nicht, was ich damit anstellen soll.... verwirrt
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