Konstruktion punktsysmetrisches Viereck (Diagonalenlänge und Seitenverhältnis bekann)

06.02.2006, 17:27

ranger

Konstruktion punktsysmetrisches Viereck (Diagonalenlänge und Seitenverhältnis bekann)

Hallo,

habe heute jemanden bei der Mathe Hausaufgabe geholfen. Leider bin ich dabei an meine Grenzen gestoßen. Versuche nun schon seit 1h das Problem zu lösen, aber ohne Erfolg.

Folgendes ist gegeben.
- Viereck ABCD
- A (0/0)
- C (10/0)
- Viereck ist punktsymetrisch
- [AD] und [CD] sind senkrecht

In der ersten Teilaufgabe soll ein Viereck gezeichnet werden für das gilt [CD] = 2*[AD]

Als erstes habe ich einen Thaleskreis um [AC] gezeichnet. So bekomme ich ja alle Punkte, die in B und D einen 90° Winkel haben.

Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich den Punkt D konstrieren kann, so dass gilt [CD] = 2*[AD]

Habe bist jetzt zwei Ansätzte versucht, die mir näherungsweiße ein Ergebnis liefern.

Zum einen habe ich einfach ein Rechteck mit besagten Verhältnissen gezeichnet, denn Schnittwinkel der Diagonalen bestimmt und diesen Winkel in meine Zeichnung übertragen. Allerdings stimmt dann das Seitenverhältniss nicht ganz.

Allternativ habe ich einfach mal einen Kreisbogen um A mit 5 LE, einen um C mit 10 LE gezeichnet. Eine Gerade durch deren Schnittpunkt und den Mittelpunkt von AC. Den Schnittpunkt der Geraden mit dem Thaleskreis um AC habe ich dann als Punkt D genommen, was natürlich nicht 100% ist.

Wie muss ich ansetzten, damit ich das Verhältnis exakt bekomme. Ohne Berechnungen.

Der Ansatz sollte nicht all zu kompliziert sein, da es sich um Stoff der 8. Klasse Realschule handelt. Und ich möchte die Lösung auch weitergeben, so dass es ein 8. Klässler versteht.

Beste Grüße
Tobi

06.02.2006, 18:19

riwe

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RE: Konstruktion punktsysmetrisches Viereck (Diagonalenlänge und Seitenverhältnis bekann)
versuche es mal mit dem strahlensatz!
werner

06.02.2006, 18:52

ranger

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Hallo,

vielleicht stehe ich gearde auf dem Schlauch, aber wie würdest du mit dem Strahlensatz ansetzten? Ich würde als Zentrum den Punkt D nehmen. Aber dann komm ich schon nicht mehr weiter.

Gruß
Ranger

06.02.2006, 19:03

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \text{punktsymmetrisches Viereck} = \text{Parallelogramm} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Parallelogramm mit rechtem Winkel} = \text{Rechteck} \end{eqnarray*}$

Die Ergebnisfigur muß also ein Rechteck sein, dessen Diagonale $\begin{eqnarray*} AC \end{eqnarray*}$ bekannt ist und dessen restliche Eckpunkte $\begin{eqnarray*} B,D \end{eqnarray*}$ auf dem Thaleskreis von $\begin{eqnarray*} AC \end{eqnarray*}$ liegen müssen.

In der Vorübung solltest du ja ein Rechteck (Viereck genügt nicht!) zeichnen, in dem die eine Seite doppelt so lang wie die andere ist. Um es nicht mit dem jetzigen Rechteck zu verwechseln, nenne ich es $\begin{eqnarray*} A'B'C'D' \end{eqnarray*}$ . Es ist also $\begin{eqnarray*} \overline{C'D'} = 2 \, \overline{A'D'} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt zeichne noch die Diagonalen von $\begin{eqnarray*} A'B'C'D' \end{eqnarray*}$ mit dem Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} Z' \end{eqnarray*}$ ein. Im Prinzip mußt du jetzt dieses Rechteck in deine Thaleskreis-Figur hineinlegen. Wenn du das alleine hinbekommst, dann brauchst du jetzt nicht weiterlesen. Ansonsten gehst du zu WEITER.

STOP

WEITER

Du bestimmst zunächst den Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ der Strecke $\begin{eqnarray*} AC \end{eqnarray*}$ und zeichnest einen Kreis um $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ vom Radius $\begin{eqnarray*} \overline{Z'A'} \end{eqnarray*}$ . Er schneidet $\begin{eqnarray*} AC \end{eqnarray*}$ in den Punkten $\begin{eqnarray*} A'' \end{eqnarray*}$ (auf der Seite von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ) und $\begin{eqnarray*} C'' \end{eqnarray*}$ (auf der Seite von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ). Ergänze jetzt zu einem Rechteck $\begin{eqnarray*} A''B''C''D'' \end{eqnarray*}$ , das zu $\begin{eqnarray*} A'B'C'D' \end{eqnarray*}$ kongruent ist. Das kannst du durch Abgreifen geeigneter Strecken mit dem Zirkel aus $\begin{eqnarray*} A'B'C'D' \end{eqnarray*}$ bewerkstelligen. Jetzt strecke $\begin{eqnarray*} A''B''C''D'' \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ aus, so daß $\begin{eqnarray*} A'' \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ fällt. Du erhältst das gesuchte Rechteck $\begin{eqnarray*} ABCD \end{eqnarray*}$ .

06.02.2006, 19:32

ranger

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Hallo,

OK, danke Leute, jetzt weiß ich, wie ich ansetzten muss.

Nur noch eine Bemerkung zu Leopolds zweiten Teil. Wenn ich das zweite Rechteck A''B''C''D'' habe, dann muss ich nichts mehr strecken. Ich verlängere einfach die Strecke B''D'' über B'' und D'' hinaus. Dann erhalte ich einen Schnittpunkt mit meinen Thaleskreis über die Strecke AB. Die beiden Schnittpunkte sind dann gleich die gesuchten Punkte.
Funktioniert also ganz ohne den Strahlensatz.

Meine Idee mit den Winkeln funktioniert auch. Komme jetzt bis auf 0,01° an das Ergebnis heran. Liegt vermutlich daran, dass man mit Geonext nicht 100% genau arbeiten kann oder mir einfach die Übung fehlt.

So und jetzt überleg ich mir, wie ich das jemanden erkläre, für den Mathematik ein Buch mit sieben Siegeln ist.

Beste Grüße
Tobi

06.02.2006, 20:08

Leopold

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Zitat:

Original von ranger
Wenn ich das zweite Rechteck A''B''C''D'' habe, dann muss ich nichts mehr strecken. Ich verlängere einfach die Strecke B''D'' über B'' und D'' hinaus. Dann erhalte ich einen Schnittpunkt mit meinen Thaleskreis über die Strecke AB. Die beiden Schnittpunkte sind dann gleich die gesuchten Punkte.

Du beschreibst mit diesen Worten, was du zuvor abgestritten hast. Das ist nämlich genau die Durchführung einer zentrischen Streckung von $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ aus mit dem Faktor $\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{\overline{ZA}}{\overline{ZA''}} \end{eqnarray*}$ .

Und die dabei entstehenden Dreiecke (z.B. $\begin{eqnarray*} ZA''B'', ZAB \end{eqnarray*}$ ) sind ähnlich zueinander. Sie bilden Strahlensatzfiguren.

Also alles irgendwie enthalten ...

Und intuitiv hast du richtig gehandelt ...

06.02.2006, 20:48

ranger

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Ich hab das schon verstanden, dass man das mit dem Strahlensatz beweisen kann. Nur funktioniert das auch, wenn meine vom Strahlensatz keine Ahnung hat. Oder ihn einfach, wie ich im Laufe der Zeit wieder vergessen hat.

Wenn ich das derjenigen mit dem Strahlensatz erkläre und dann noch anfange mit ZA und ZA' zu argumentieren, dann schaltet sie ganz ab.

Da diesen Beitrag ja auch noch andere lesen, wollt ich es einfach nochmals vereinfacht schreiben. So dass man es vielleicht schneller versteht.

Nichts für Ungut

Ranger

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