Konvergenz von Funktionsfolgen

06.02.2006, 17:53

Großes Fragezeichen

Konvergenz von Funktionsfolgen

Hallo

Bin mal wieder mit der punktweisen und gleichmäßigen Konvergenz beschäftigt, weil ich mir noch nicht so sicher bin, ob ichs auch wirklich verstanden hab. Hammer

Hab hier vier Funktionsfolgen zu denen ich sagen soll, ob sie gegen die angegebene Funktion gleichmäßig konvergieren.

f_n: X -> R und f: X -> R, dann sind folgene Funktionsfolgen gegeben

1. $\begin{eqnarray*} X:=[0,1], \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f_n(x):=\frac{nx}{1+n^2x^2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} X:=[-1,1] \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac{x^2}{n^2+1} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} X:=\mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac{x^2}{n^2+1} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$

4. $\begin{eqnarray*} X:= \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\sum_{k=0}^n~\frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(x)=e^x \end{eqnarray*}$

Also ich würd ja sagen, dass die ersten drei schonmal zumindest punktweise konvergieren.

Zu 1. Da würd ich die gleichmäßige Konvergenz so zeigen:
$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-0|=|\frac{nx}{1+n^2x^2}|<\frac{n}{1+n^2}<\frac{1}{n}< \epsilon \end{eqnarray*}$

kann ich die Abschätzung hier mit dem Archimedes erklären? Sind ja schließlich auch Folgen und dort konnte man das schon so machen.
Damit wäre doch 1. schonmal gleichmäßig stetig.

Zu 2. Das ist ja die gleiche Funktion, nur ist der Definitionsbereich ganz R. Und da fangen die Probleme schon an, weil ich mit der Abschätzung nicht weiterkomme. Also:

$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-0|=|\frac{nx}{1+n^2x^2}|<... \end{eqnarray*}$ ???

Zu 3. wie 1.

$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-0|=|\frac{nx}{1+n^2x^2}|<\frac{n}{1+n^2}<\frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}< \epsilon \end{eqnarray*}$

Zu 4. Da weiss ich gar nicht weiter. Das einzige was mir eingefallen ist, dass man vielleicht das hier zeigen könnte, nur eben keine Ahnuing wie:

$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)|=|\sum_{k=0}^n~\frac{x^k}{k!}-\sum_{k=0}^\infty~\frac{1}{k!}z^k| \end{eqnarray*}$

da ja die Exponentialfunktion so definiert ist: $\begin{eqnarray*} E(x):=\sum_{k=0}^\infty~\frac{1}{k!}z^k \end{eqnarray*}$

Ist jetzt ein wenig viel geworden, aber ich hoffe mir kann da jemand helfen.
Freu mich über jeden Tipp Augenzwinkern

06.02.2006, 22:33

quarague

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erstmal: die punktweise konvergenz und die grenzfunktionen sind alle richtig
überlege nochmal, wie die genaue definition von gleichmäßig stetig funktioniert
$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon \exists n \forall x |f_n(x)-f(x)|< \varepsilon \end{eqnarray*}$
wichtig ist, das ein festes n für alle x funktioniert
für erstens überlege mal, was f_n(1/n) ist
zweitens kann man rabiat mit f_n(x) < 1/(n²+1) für alle x abschätzen
drittens funktioniert so ähnlich wie erstens, suche mal ein x wo etwas schiefgehen könnte.

bei viertens sollte erstmal auffallen, das in der Differenz die ersten n Summanden wegfallen. Dann kann man noch argumentieren, dass die Reihenentwicklung eine Cauchy-Folge ist. Dann kannst du selber noch ein bisschen weiter grübeln Big Laugh

07.02.2006, 18:58

Großes Fragezeichen

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Hey, danke erstmal für die Tipps!!

1. Also wenn ich jetzt bei 1. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ einsetze, dann bekommt man $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , heißt es, dass sich das n nicht unabhängig von x wählen lässt und die Funktion damit nicht gleichmäßig konvergieren kann?

2. Andere Frage, wenn man das so verallgemeinert, muss man dann doch "nur" ein solches x finden, dass alle n verschwinden und damit hat man dann gezeigt, dass die Funktion nicht gleichmäßig konvergiert?

3. Und noch eine Fage, warum sprichst du von "gleichmäßig stetig"? Irgendwie hab ich wohl den Zusammenhang zwischen "gleichmäßig stetig" und "gleichmäßig konvergent" übersehen.... verwirrt

07.02.2006, 19:04

Mathespezialschüler

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Bei 4. hast du mehrmals die Variablen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ vertauscht! Zu 1. hat quarague dir schon einen Tipp gegeben, der zeigt, dass die Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergiert! Das wiederm heißt, dass in deiner Abschätzung ein Fehler ist! Versuche diesen selbst zu finden und denke daran: Wenn du einen Bruch nach oben abschätzen willst, dann musst du den Zähler vergrößern (d.h. nach oben abschätzen) und den Nenner verkleinern (d.h. nach unten abschätzen). Zu 4.: Betrachte einmal den Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}|f_n(x)-f(x)| \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

08.02.2006, 17:24

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Also kann man das so abschätzen:

$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-0|=|\frac{nx}{1+n^2x^2}|<\frac{nx}{n^2x^2} = \frac{1}{nx}< \epsilon \end{eqnarray*}$

Und damit ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}<\epsilon x \end{eqnarray*}$ und das bedeutet, dass man das n nicht unabhängig von x wählen kann und f_n damit nicht gleichmäßig komvergieren kann. Wäre das eine richige Begründung?

08.02.2006, 17:37

Mathespezialschüler

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Nein, das wäre keine richtige Begündung. Es stimmt zwar, dass das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ jetzt am Ende abhängig von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist (allerdings muss es in dieser Form, die du aufgeschrieben hast, noch nicht heißen, dass die Folge nicht gleichmäßig konvergiert), aber du darfst vorher nicht nach oben abschätzen. Wenn du nämlich zeigen willst, dass die Folge nicht gleichmäßig konvergiert, dann musst du erst nach unten abschätzen, und zwar möglichst zu einem Term, für den $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ immer noch von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängt. Im Übrigen hast du den Betrag vernachlässigt und deine Abschätzung gilt auch nicht für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ !
Um zu beweisen, dass diese Folge nicht gleichmäßig konvergiert, nimm, wie gesagt, quaragues Tipp. Und damit komme ich auch gleich zu deinen Fragen, die ich eben erst gesehen habe.
2. quarague hat ja nicht ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gefunden, sondern eine Folge. Folgendes gilt also: Wenn du eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n\in\mathrm D_{f_n} \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ findest, sodass mit einem $\begin{eqnarray*} q>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |f_n(x_n)-f(x_n)|\geq q \end{eqnarray*}$

für alle natürlichen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt, dann kann $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ nicht gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konvergieren. Entsprechend ist damit auch 1. beantwortet. Am einfachsten beweist man diese Aussage übrigens über die Definition der gleichmäßigen Konvergenz (in der etwas mehr steht als nur die Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ unabhängig von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist).
Und das mit dem "gleichmäßig stetig" war sicher nur ein Schreibfehler.

Gruß MSS

08.02.2006, 20:03

Großes Fragezeichen

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Ok, so langsam fang ich an zu verstehen....

Zu $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac{x^2}{n^2+1} \end{eqnarray*}$ kanns man so machen

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon := 1 \end{eqnarray*}$ Dann gibts ein N so dass

$\begin{eqnarray*} |\frac{x^2}{N^2+1}|<1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=> x^2<N^2+1 \end{eqnarray*}$ für alle x aus R, das kann aber nicht sein.

Also Widerspruch und Funkt.folge konvergiert nicht gleichmäßig.

Also wenn die Funkt. nicht gleichmäßig konvergiert, kann man eine Folge finden, so dass man diese für x einsetzt und ein Wert rauskommt. Und ich habe mal gehört, das diese Folge sozusagen die Extremstelle ist.

Also wenn man sich z.b die 1 Reihe anschaut, dann ist f_n'(x)=0 => x=1/n. Kann man das allgemein so machen? Das würde doch heißten, dass man ziemlich leicht nachprüfen kann, ob die Funktionsfolge gleichmäßig konvergiert oder nicht.

08.02.2006, 20:11

Mathespezialschüler

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Genau genommen solltest du noch davor schreiben, dass du annimmst, dass die Folge gleichmäßig konvergiert. Daraus ergibt sich dann ein Widerspruch und dann hast du gezeigt, dass sie es nicht tut.

Zitat:

Original von Großes Fragezeichen
Also wenn die Funkt. nicht gleichmäßig konvergiert, kann man eine Folge finden, so dass man diese für x einsetzt und ein Wert rauskommt. Und ich habe mal gehört, das diese Folge sozusagen die Extremstelle ist.

Also wenn man sich z.b die 1 Reihe anschaut, dann ist f_n'(x)=0 => x=1/n. Kann man das allgemein so machen? Das würde doch heißten, dass man ziemlich leicht nachprüfen kann, ob die Funktionsfolge gleichmäßig konvergiert oder nicht.

Du kannst, musst aber nicht die Extremstelle nehmen. Wie ich oben gesagt habe: Wenn du eine solche Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ findest, dann bist du fertig. Ob das nun die Folge der Extremstellen ist oder nicht, ist dabei egal. Aber natürlich kann man es immer so machen, allerdings darfst du nicht immer (besser: fast nie) $\begin{eqnarray*} f'_n(x) \end{eqnarray*}$ untersuchen! Das klappt nur, falls die Grenzfunktion die Nullfunktion ist und selbst dann müsstest du noch den Betrag nehmen! Du musst nämlich in allen Fällen $\begin{eqnarray*} g_n(x)=|f_n(x)-f(x)| \end{eqnarray*}$ betrachten (wobei das natürlich auch den Fall $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ einschließt). Bei solchen Aufgaben wie diesen hier, klappt das meist auch ganz gut. Allerdings gibt es auch Fälle, wo man gar keine Extremstelle findet, z.B. bei der vierten Aufgabe. Und natürlich gibt es auch Funktionenfolgen, bei denen es wesentlich schwieriger ist, zu beweisen, dass sie gleichmäßig konvergieren bzw. dies nicht tun.

Gruß MSS

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