Normalverteilung Kleine Aufgabe

06.02.2006, 18:00

Montag

Normalverteilung Kleine Aufgabe

HiHo,

ich muss euch schon wieder nerven traurig

Ich hab mir nochmal diese Aufgabe herausgesucht, um zu schauen, ob ich endlich versatnden habe

Aufgabe:

Die Bäume einer Christbaumkultur sind bei einer Standartabweichung von 20cm durchschnittlich 2m hoch.
a)Wie groß ist der Anteil der Bäume, die höher sind als 2,35m ?
b)In welchem Höhenbereich liegen 95% aller Christbäume ?

Mein Ansatz:

X=2,35
Standartabweichung=2m

$\begin{eqnarray*} P(X>2,35)=1-(Phi)((2,35-Erwartungswert)/(2)) \end{eqnarray*}$

Bei Aufgabenstellung b) müssten doch die 95% alpha sein, oder ?
Hier bin ich überfragt

06.02.2006, 18:37

bil

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hi..
also ich probiere mal es allgemein zu erklären....

der erwartungswert wird mir $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ beschrieben, die Varianz mit $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$ und die standardabweichung mit $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ (also wurzel von der varianz).

d.h. in unserem fall gilt.
es steht übrigens in der aufgabe nicht direkt das X normalverteilt ist, aber schätze mal davon soll man ausgehen.

ok X also normalverteilt sprich: $\begin{eqnarray*} X\sim N(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$
d.h. bei uns:

$\begin{eqnarray*} X\sim N(2m,20cm^2)=N(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$

also ist unser erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu=2m \end{eqnarray*}$ und unsere standardabweichung $\begin{eqnarray*} \sigma=20cm \end{eqnarray*}$ .

gesucht ist wie du richtig gemacht hast:

$\begin{eqnarray*} P(X>2.35m)=1-P(X<2.35) \end{eqnarray*}$

jetzt muss man standardisieren um die tabelle benutzen zu können, also:

$\begin{eqnarray*} P(X<2.35)=P\left(X^*<\frac{2.35-\mu}{\sigma}\right)=\Phi \left(\frac{2.35-\mu}{\sigma}\right) \end{eqnarray*}$

und bei der b) ist folgendes gesucht:

$\begin{eqnarray*} P(\mu-a\leq X \leq \mu+a)=0.95=95% \end{eqnarray*}$

hier musst du also das a bestimmen. kannst auch das mal durchlesen:
Beurteilende Statistik - Fragen zu Aufgaben
sollte helfen...

gruss bil

06.02.2006, 20:54

Montag

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Erstmal danke für die Hilfe !!!

Hätte nochmal eine FRage zu b):

Ich muss also die Zahl für den Wert
0,95 aus der Tabelle suchen und das ist dann a ?

$\begin{eqnarray*} a=1,65 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(2-1,65\leq X \leq 2+1,65) \end{eqnarray*}$

und dann entsprechend Phi weiter ausrechnen ?

06.02.2006, 21:16

bil

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Zitat:

Original von Montag
Erstmal danke für die Hilfe !!!

Hätte nochmal eine FRage zu b):

Ich muss also die Zahl für den Wert
0,95 aus der Tabelle suchen und das ist dann a ?

$\begin{eqnarray*} a=1,65 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(2-1,65\leq X \leq 2+1,65) \end{eqnarray*}$

und dann entsprechend Phi weiter ausrechnen ?

das würde bei dir dann heissen das in dem bereich [2-1,65 ; 2+1,65]
=[0,35 ; 4,65] 95% der christbäume liegen. also ich würde mal sagen das der bereich doch recht gross ist, oder nicht?
du hast in der formel das $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ vergessen. du hast ja hier die sigma-regel angewendet.
aber du kannst es ja auch ganz einfach überprüfen ob dein ergebniss stimmt:

$\begin{eqnarray*} P(2-1,65\leq X \leq 2+1,65)= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =P(\frac{2-1,65-\mu}{\sigma}\leq X^* \leq \frac{2+1,65-\mu}{\sigma})=\Phi(\frac{2+1,65-\mu}{\sigma})-\Phi(\frac{2-1,65-\mu}{\sigma})=??? \end{eqnarray*}$

wenn da 95% rauskommt hast du es richtig gemacht Augenzwinkern

gruss bil

06.02.2006, 22:01

Montag

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Hatte mich an deinem Ansatz von oben gehalten....

Aber dann müsste es sein:

$\begin{eqnarray*} P(2-1,65*0,2\leq X\leq 2+1,55*0,2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [1,67;2,33] \end{eqnarray*}$

verwirrt

oder ?

06.02.2006, 22:04

Montag

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Neiiin, kommt 0.901057 raus und nicht 0.95

Wo soll den jetzt schon wieder der Fehler sein ?

06.02.2006, 22:24

bil

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woher kommt bei dir eigentlich die 1.55 und 1.65. hier nochmal ein zitat aus dem gegebenen link:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} [\mu - \sigma, \mu + \sigma] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(\mu - \sigma \leq X \leq\mu +\sigma)=0.683 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(\mu - 2\sigma \leq X \leq\mu +2\sigma)=0.955 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(\mu - 3\sigma \leq X \leq\mu +3\sigma)=0.997 \end{eqnarray*}$

gruss bil

07.02.2006, 15:32

Montag

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Wenn man den Wald vor lauter Christbäumen nich sieht LOL Hammer

Da es sich um 95% handelt, wird folgendes Intervall verwendet:

$\begin{eqnarray*} P(2-2*0,2\leq X\leq 2+2*0,2)=0,95 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [1,6;2,4] \end{eqnarray*}$

Idee!

07.02.2006, 17:00

bil

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ja so stimmts jetzt Augenzwinkern

aber man kann es sogar noch genauer machen.. wenn du in der tabelle den wert für 95% suchst wirst du 1,96 finden.

also ganz exakt wäre es dann:

$\begin{eqnarray*} P(2-2\cdot 0,2\leq X\leq 2+2 \cdot 0,2)=0,955 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} P(2-1,96\cdot 0,2\leq X\leq 2+1,96 \cdot 0,2)=0,95 \end{eqnarray*}$

gruss bil

11.02.2006, 10:58

Montag

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Ja, so wärs noch genauer...

Aber was mache ich bei folgender Aufgabe:

Die Abfüllmenge für ein Medikament in Fläschchen sei normalverteilt mit den Erwatungswert 8,0cm³. Die Abfüllvorrichtung bedingt eine Streuung von 0,05cm³.

Weche Abweichungen vom Sollwert kann man gerade noch zulassen, damit maximal 5% Ausschuss erwrtet ist ?

Das Problem:

Meine Tabelle der Gaußschen Summenfunktion geht nur bis 0,5 d.h. bis 50% , darunten find eich also nix !?

Hilfe

11.02.2006, 11:11

bil

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Zitat:

Original von Montag
Das Problem:

Meine Tabelle der Gaußschen Summenfunktion geht nur bis 0,5 d.h. bis 50% , darunten find eich also nix !?

siehe Schätzen
oder hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_Sta...ormalverteilung

aber davon mal abgesehen kann man sich die frage auch vereinfachen.
welche abweichungen vom sollwert kann man gerade noch zulassen, damit 95% kein ausschuss ist.

gruss bil

11.02.2006, 11:45

Montag

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Ja, an Vereinfachen habe ich auch schon gedacht...nur erhalten wir als Ergebnis ja ein Intervall und davon müssten wir ja dann die Gegenwahrscheinlichkeit errechnen... verwirrt

11.02.2006, 13:04

Teutone

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Ja da wirst du wohl nicht drumrum kommen und kannst einfach $\begin{eqnarray*} \Phi(\frac{k-\mu}{\sigma})=0.025 \end{eqnarray*}$ berechnen.

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