Differenzialgl. des beschränkten Wachstums

06.02.2006, 18:19

Friedrich

Differenzialgl. des beschränkten Wachstums

Hi,
ich versuche folgende Aufgabe zu lösen:

Zitat:

Einem Patienten wird über eine Infusion ein Medikament verabreicht, das zuvor im Körper nicht vorhanden war. Pro Minute gelangt dabei ein Menge von 4mg ins Blut. Andererseits beginnt die Niere das im Blut angereicherte Medikament wieder auszuscheiden; die momentane Ausscheidungsrate beträgt dabei 5% pro Minute der jeweils im Blut aktuell vorhandenen Menge des Mediakamentes m(t).
a) Welche Diff.Gl. modelliert die zeitl. Entwicklung der Menge m(t)?
b) Geben sie die Funktion an, die diese Diff.Gl. löst. Zeigen Sie, dass diese Tropfinfusion auf lange Sicht zu einer konstanten Menge des Medikamentes im Blut führt.
Geben Sie disesn maximalen Wert an. Wann ist dieser zu 90% erreicht?

Also was ich bisher herausgefunden haben ist:
m(t) liefert die aktuelle Menge des Medikamentes im Blut.
Da 5% abgebaut werden ist die Änderungsrate des Medikamentengehalts m'(t)= 0,95*m(t)
also beschreibt
$\begin{eqnarray*} m'(t) = 0,95 (S-m(t)) \end{eqnarray*}$ den Wachstumsprozess

Allerdings fällt hier auf, dass wenn man m'(t) in der Gleichung durch 0,95*m(t) ersetzt, die 0.95 rausfällt und die Gleichung sich zu m(t)=S/2 vereinfachen lässt, was bedeutet, dass m(t) eine konstante Funktion ist. Kann aber nicht sein verwirrt

Weiter....
m(0) = 0
==> $\begin{eqnarray*} m(t) = S * (1 - e ^{-0,95t}) \end{eqnarray*}$
Setzt man diese Gleichung voraus ist klar, dass der Grenzwert S für x gegen unendlich existiert.
Aber wie komme ich jetzt an S ran? Ich habe ja nur den Funktionswert für t=0 das bringt mich aber nicht weiter, da S*(1-1) eben null ergibt und ich nichts über S sagen kann. verwirrt

Danke!

06.02.2006, 18:30

marci_

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m(t)=S-c*e^kt

setze m(t) in m'(t) ein

06.02.2006, 18:43

Abakus

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Erstmal zur DGL. Die Änderung der Konzentration des Medikaments ist zu m proportional, der Proportionalitätsfaktor ist - 0,05. Desweiteren kommen pro Minute noch 4 mg dazu, die berücksichtigt werden müssen. Ferner ist die Anfangskonzentration gleich 0.

Das ergibt: $\begin{eqnarray*} m' = - 0,05 * m + 4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m(0) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Das sollte sich lösen lassen.

Grüße Abakus smile

06.02.2006, 18:51

marci_

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somit ist doch m(t)=S-ce^(-0,05t)

das kann man in m'(t) einsetzen?!

4-0,05*(S-ce^(-0,05t))

06.02.2006, 19:46

Friedrich

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Hm, nach 2 Stunden zu dem Thema verstehe ich noch nicht allzu viel.
Also halten wir mal fest:
k=-0.05 (hatte ich bei meiner ersten Überlegung auch, aber dachte beim Posten dann, dass es 0.95 sind, weil ja 95% des Medikamentes im Blut bleiben, naja, OK)

Allg. lautet die Formel für eine DGl des beschränkten Wachstums:
$\begin{eqnarray*} f'(t) = k * (S-f(t)) \end{eqnarray*}$

k haben wir bereits
S wird noch gesucht. Um allerdings darüber etwas auszusagen muss man f(t) kennen.
Wir wissen, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} f(t) = S - c * e^{-kt} \end{eqnarray*}$

Da f(0) = 0, ist c= S und somit:
$\begin{eqnarray*} f(t) = S*(1-e^{-kt}) \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich ja eine Gleichung finden, sodass ich durch einsetzen der gegebenen Bedingungen nach S freistellen kann.
Dafür muss t <> 0 sein.
Und das ist was ich an euren Gleichungen nicht verstehe. Wie soll ich mit m(0)=0 nach S auflösen?

Was mir noch eben in den Kopf kam ist:
Man kann ja m(1) ausrechnen: 4*0.95=3,8
und dann folgende Gleichung lösen:
$\begin{eqnarray*} m(1)=3,8=S(1-e^{-0,05*1}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=> S = \frac{3,8}{1-e^{-0,05*1}} = 77,92 \end{eqnarray*}$

Macht das Sinn?
Kann man das Überprüfen?

06.02.2006, 20:23

Abakus

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Zitat:

Original von Abakus
Das ergibt: $\begin{eqnarray*} m' = - 0,05 * m + 4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m(0) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Zuerst solltest du die korrekte DGL aufstellen. Dazu brauchst du die obige Zeile nur mal angucken Idee!

.

Modelliert wird ein "exponentieller Abnahmeprozess mit konstanter Zufuhr". Pro Minute passiert folgendes: 5% des Medikamentes werden abgebaut und 4 mg werden neu dazu verabreicht. Das modelliert diese DGL. Können wir uns erstmal soweit einigen?

Wenn du unbedingt deine Formel wiederfinden möchtest, voila:

$\begin{eqnarray*} m' = 0,05 * (80 - m) \end{eqnarray*}$

Der nächste Schritt ist, diese DGL zu lösen (Lösung des homogenen Teils + spezielle Lösung). Dabei spielt dann die Anfangsbedingung eine Rolle.

Grüße Abakus smile

06.02.2006, 20:29

marci_

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somit ist doch m(t)=S-ce^(-0,05t)

das kann man in m'(t) einsetzen?!

4-0,05*(S-ce^(-0,05t))

geht das nicht auch so?!

06.02.2006, 20:30

Friedrich

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Ja wenn du mir jetzt erklären könntest wie du auf 80 kommst und auf meine Fragen eingehst, dann wäre das sehr angenehm.

Zitat:

Der nächste Schritt ist, diese DGL zu lösen (Lösung des homogenen Teils + spezielle Lösung).

sagt mir nicht viel, vor allem die Klammer

06.02.2006, 20:56

Abakus

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zu den 80: die DGL ist nur umgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} m' = - 0,05 * m + 4 = 0,05 * (80 - m) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m(0) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Es ist 0,05 * 80 = 4.

m(1) kennst du nicht wirklich und kannst du so auch nicht ausrechnen. Denn dann würde der Abbau der 5% jeweils am Ende der Zeiteinheit, nicht jedoch über die ganze Zeiteinheit verteilt, stattfinden.

Wenn du diskret modellieren möchtest, ginge das mit Differenzengleichungen. Bei der Differentialgleichung hier stellst du den Abbauvorgang kontinuierlich dar.

Grüße Abakus smile

EDIT:
@ marci: Wenn du die Form der Lösung von vorne herein kennst, kannst du damit natürlich auch einen Lösungsansatz versuchen.

09.02.2006, 08:33

Friedrich

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Zitat:

Original von Abakus
zu den 80: die DGL ist nur umgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} m' = - 0,05 * m + 4 = 0,05 * (80 - m) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m(0) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Es ist 0,05 * 80 = 4.

OK, jetzt ist die Aufgabe ja praktisch gelöst, denn jetzt weis ich, dass S = 80 ist und kenne somit ja die gesamt Lösungsfunktion f(t)!! (Was du jetzt mit lösen meinst haben wir ja allg. gemacht und die Funktion ist allg. ja oben schon von mir angegeben)

Jetzt muss ich die ja nur noch gleich 80*0.9 = 72 setze und nach t auflösen und weis dann wie lange es dauert bis der Patient 90% der maximalen Konzentration erhält.
Wenn ich alles richtig gemacht habe ist t=46min.

Danke schön!
Übrigens: ich hab deine Gleichung mit m' = ... endlich wirklich verstanden!

09.02.2006, 12:50

Abakus

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OK, korrekt, t = 46,05 min habe ich auch.

Grüße Abakus smile

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