Tangentenberechnung - Problem ? Abituraufgabe

06.02.2006, 20:00

Harut

Tangentenberechnung - Problem ? Abituraufgabe

Hallo,

gegeben ist die funktion: x³ - 3x +2
-----------------
( x + 1 )²

nun habe ich eine kurvendisskusion durchgeführt und den grapfen wie verlangt gezeichnet mit Polstellen und Asymptote

Definitionsbereich: x darf nicht - 1 sein und da liegt auch die Polstelle

asymptote ist y = x-2 ( durch polynomdivision errechnet )

so die erste ableitung ist für mein problem auch noch von bedeutung:

f'(x) = x^4 + 4x³ + 6x² - 4x - 7
------------------------------------
( x + 1 )^4

nun gehen von P ( -1 / 9 ) zwei tangenten aus, die den grafen von f berüheren...

gesucht ist der Berührpunkt...

y = mx + b

der Berührpunkt sei Pb ( a / f(a) )
m = f'(x)

so nun habe ich zwar f(a) = f'(a) * a + b gerechnet...komme da aber auf einen mega bruch, der nicht nach a aufzulösen ist?

vlt kann mir jemand sagen, wie ich eigendlich vorgehen sollte...
wäre sehr dankbar , weil ich schon sehr lange an dieser aufgabe mit diesen monsterableitungen dran sitze -.-

danke Prost

06.02.2006, 20:03

babelfish

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am besten benutzt du erstmal den formeleditor...

meinst du das hier??

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^3-3x+2}{(x+1)^2} \end{eqnarray*}$

06.02.2006, 20:04

Harut

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sry bin neu hier =) jep die meine ich =)

06.02.2006, 22:42

klarsoweit

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RE: Tangentenberechnung - Problem ? Abituraufgabe

Zitat:

Original von Harut
so nun habe ich zwar f(a) = f'(a) * a + b gerechnet...komme da aber auf einen mega bruch, der nicht nach a aufzulösen ist?

Und warum hast du so gerechnet? verwirrt

Also die Tangentengleichung lautet doch: t(x) = f'(a) * (x - a) + f(a)
Die Tangente soll durch (-1|9) laufen. Also ist t(-1) = 9.
Jetzt alles einsetzen und nach a auflösen.

07.02.2006, 10:47

Harut

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em...wie kommt man auf : t(x) = f'(a) * (x - a) + f(a) ?

y = mx + b
f'(a) = m das kann ich noch nachvollziehen -.-
wie kommt man nun aber auf ( x-a ? ) müsste das nicht einfach nur a sein?
und warum ist b = f(a)? ....ich dachte y sei f(a) ? oder weil b die y achse schneidet?

07.02.2006, 10:55

Lazarus

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Die allgemeine Geradengleichung lautet:
$\begin{eqnarray*} y=m\cdot x+b \end{eqnarray*}$
Hier ist dann:
$\begin{eqnarray*} b = f(a)- f'(a) \cdot a \end{eqnarray*}$
wenn man dann f'(a) ausklammert bekommt man:
$\begin{eqnarray*} f(x)=y=f'(a)\cdot \left(x-a\right)+f(a) \end{eqnarray*}$
Diese "Fertig-Gleichung" kann man sich herleiten indem man allgemein eine Tangente an einen Graphen legt.

f(a) ist dabei der Funktionswertes des Punktes P(a;f(a)), an welchem die Tangente abliegen soll.

Das x muss natürlich auch mitenthalten sein, um danach eine Funktion und nicht nur einen Wert herraus zu bekommen.

07.02.2006, 11:06

Harut

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gibt es eine seite, wo ich die herleitung zu dieser 'fertigen-gleichung' nachvollziehen könnte? bin im LK und sehe sowas zum ersten mal -.-

also würde ich jetzt P ( -1/9 ) in die gleichung einsetzen: $\begin{eqnarray*} 9 = f'(a) * ( -1 - a ) + f(a) \end{eqnarray*}$ und nach a auflösen müssen?

07.02.2006, 11:13

klarsoweit

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Zitat:

Original von Harut
gibt es eine seite, wo ich die herleitung zu dieser 'fertigen-gleichung' nachvollziehen könnte? bin im LK und sehe sowas zum ersten mal -.-

Also warum ist t(x) = f'(a) * (x - a) + f(a) die Tangentengleichung an die Funktion f durch den Punkt (a|f(a)). Ganz simpel:
Daß die Tangente die Steigung f'(a) hat, hast du schon selbst gesehen.
Und wenn du x=a einsetzt, dann hat sie den Wert f(a). Also ist die Gerade eindeutig bestimmt.

Zitat:

Original von Harut
also würde ich jetzt P ( -1/9 ) in die gleichung einsetzen: $\begin{eqnarray*} 9 = f'(a) * ( -1 - a ) + f(a) \end{eqnarray*}$ und nach a auflösen müssen?

Ja!

07.02.2006, 11:27

Lazarus

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Die Herleitung evtl. ein bisschen ausführlicher:

Also ich hab eine Funktion f(x), sowie einen Punkt auf dem graphen dieser Funktion $\begin{eqnarray*} P(x_0;f(x_0)) \end{eqnarray*}$ .
Eine Tangente soll den Graphen an diesem Punkt berühren.
Die allgemeine Tangentengleichung lautet ja $\begin{eqnarray*} t(x)=m_t\cdot x+ b_t \end{eqnarray*}$ .
Indem man für die Steigung m die erste Ableitung im Punt x_0 einsetzte kommt man zu $\begin{eqnarray*} t(x)=f'(x_0)\cdot x + b_t \quad \left(1\right) \end{eqnarray*}$ .
Desweiteren ist P sowohl Punkt des Graphen als auch Punkt der Tangente, also erhält man $\begin{eqnarray*} \left(t(x_0)=\right)m_t\cdot x_0+ b_t=f(x_0) \end{eqnarray*}$ .
Das nun aufgelöst nach $\begin{eqnarray*} b_t \end{eqnarray*}$ ergibt eben dieses $\begin{eqnarray*} b_t=f(x_0)-f'(x_0)\cdot x_0 \end{eqnarray*}$ .
Das nun in (1) eingesetzt liefert nach kurzen Umformen dann das gewünschte Ergebniss und fertig ist die "Direktformel"

Servus

07.02.2006, 12:43

Harut

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danke ich habe nun auch die herleitung erfolgreich verstanden Rock

werde nun mal nach a auflösen und schauen, ob was sinnvolles raus kommt smile

em...ich bedanke mich schon mal für eure nette hilfe =)

hab vorhin aber noch versucht eine Stammfunktion der folgenden funktion zu bilden: $\begin{eqnarray*} (x³ -3x +2) / (x+1)² \end{eqnarray*}$

dann muss man ja: A/(x+1) + B(x+1)

oder halt erstmal polynomdivision : $\begin{eqnarray*} x-2 + ( 4/(x+1)² ) \end{eqnarray*}$

dann erhalte ich $\begin{eqnarray*} 1/2*x² -2x + ( 4Ln (x+1)² \end{eqnarray*}$

ist das richtig?

07.02.2006, 13:22

klarsoweit

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eher nicht. Leite mal $\begin{eqnarray*} f(x) = 4 \cdot ln ((x+1)^2) \end{eqnarray*}$ ab.
Überlege dir mal die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$

07.02.2006, 20:28

Harut

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$\begin{eqnarray*} G(x) = - 1/x \end{eqnarray*}$ oder?

dann wäre $\begin{eqnarray*} f(x) = 4 / (x+1)² \end{eqnarray*}$ ---> $\begin{eqnarray*} F(x) = -4(x+1)^-1 \end{eqnarray*}$

??? wäre super, wenn ich das heute auch noch hinkriegen würde Big Laugh