Beweis von Unabhängigkeit der Münzwürfe

27.05.2008, 09:36	alphabeta	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis von Unabhängigkeit der Münzwürfe Hallo, hoffe mir kann jemand bei der Aufgabe helfen. Es wird n mal eine Münze geworfen. $\begin{eqnarray} E_i,i=1,...,n \end{eqnarray}$ sei das Eregnis, dass beim $\begin{eqnarray} i-ten \end{eqnarray}$ Wurf Kopf fällt, und $\begin{eqnarray} E_{n+1} \end{eqnarray}$ das Ereignis, dass insgesamt eine gerade Zahl von Köpfen fällt. Zeigen Sie, dass die $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ Ereignisse nicht unabhängig sind, dass jedoch n von ihnen unabhängig sind. Meine Überlegungen bis jetzt: Die W'keit für jedes einzelne Ereignis ist doch $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Wenn die Ereignisse unabhängig wären, dann wär die W'keit, dass alle eintreten genau $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\frac{1}{2}...\frac{1}{2}=\frac{1}{2^{n+1}} \end{eqnarray}$ . Aber in Wirklichkeit ist die W'keit, dass alle Würfe Kopf sind und die Anzahl der Köpfe gerade ist entweder 1 (wenn n gerade) oder 0 (wenn n ungerade), aber nicht $\begin{eqnarray} \frac{1}{2^{n+1}} \end{eqnarray}$ . Daher müssten die $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ Ereignisse nicht unabhängig sein. Sind diese Überlegungen von mir richtig? Wie mach ich jetzt für die Unabhängigkeit von den n Ereignissen weiter.
28.05.2008, 12:48	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso meinst du, dass das bloße Ereignis $\begin{eqnarray} E_{n+1} \end{eqnarray}$ die nach deiner Rechnung die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} P(E_{n+1})=\frac{1}{2^{n+1}} \end{eqnarray}$ haben sollte? Beispiel: Sei $\begin{eqnarray} n=3 \end{eqnarray}$ dann ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\begin{eqnarray} E_{n+1} \end{eqnarray}$ "Die Anzahl der Köpfe ist gerade" $\begin{eqnarray} P(E_{n+1})=\frac{4}{2^3} \neq \frac{1}{2^{3+1}} \end{eqnarray}$ (günstig: KKZ, KZK, ZKK, ZZZ; ungünstig: $\begin{eqnarray} 2^3 \end{eqnarray}$ ). Für die Unabhängigkeit musst du vielmehr überprüfen, ob die bedingten Wahrscheinlichkeiten durch ein Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten gebildet werden können. Scheinbar sollen da immer je n Ereignisse unabhängig sein, egal ob da das besondere Ereignis n+1 dabei ist oder nicht.

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