Verständnisproblem L'Hospital

06.02.2006, 21:01

MrRT

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Verständnisproblem L'Hospital

Hallo alle zusammen,

ich hab ne Problem mit ner Aufgabe. Und zwar soll ich den Grenzwert finden von

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x^{2}*sin(\frac{1}{x}) }{sin(x)} \end{eqnarray*}$

jetzt macht mir aber das $\begin{eqnarray*} sin(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ zu schaffen, da ich hier nicht Bernoulli L'Hospital anwenden kann. Warum eigentlich verwirrt

verwirrt

Und da hängt es bei mir. Wie bestimme ich jetzt diesen Grenzwert?

06.02.2006, 21:11

freetgy

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man darf das vernachlässigen wegen dem x^2=0 somit gehen Nenner und Zähler gegen 0 und du darfst die Regel anwenden.

Wer ne genauere Erklärung parat hat ich würde sie auch gerne wissen

06.02.2006, 21:19

therisen

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Hallo,

es gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)=0 \end{eqnarray*}$ .

Meine Beweisidee hierfür sieht wie folgt aus:

Es gilt $\begin{eqnarray*} -1\leq \sin(x) \leq 1 \end{eqnarray*}$ und somit

$\begin{eqnarray*} -x^2\leq x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} x \to 0 \end{eqnarray*}$ erhält man die Behauptung.

Gruß, therisen

06.02.2006, 21:21

MrRT

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ich glaub nicht, dass man das vernachlässigen darf, bzw. kann.

vorallem bringt das übehaupt was? Ich find es wird nur schlimmer.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{2x*sin(\frac{1}{x})-\frac{1}{x^{2}}*cos(\frac{1}{x})*x^{2} }{cos(x)} \end{eqnarray*}$

06.02.2006, 21:22

JochenX

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warum so kompliziert?

therisens beweis ist natürlich richtig, aber wenn man einfach diese beschränktheit der sinusfunktion benutzt, hat man "nullfolge*was beschränktes", was ganz bekanntlich nullfolge ist.
ich würde da nicht groß argumentieren, sondern das einfach so begründen.....

edit: 1/x^2*x^2... kürzen!?

06.02.2006, 21:24

freetgy

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Zitat:

Original von MrRT
ich glaub nicht, dass man das vernachlässigen darf, bzw. kann.

vorallem bringt das übehaupt was? Ich find es wird nur schlimmer.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{2x*sin(\frac{1}{x})-\frac{1}{x^{2}}*cos(\frac{1}{x})*x^{2} }{cos(x)} \end{eqnarray*}$

kannst den Bruch aufspalten da fällt dann auch wieder was weg smile

smile

Außerdem kannste x^2 kürzen

mfg

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06.02.2006, 21:27

Poldi

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Bin auch nur Anfängerin auf dem Gebiet, aber ich seh das ähnlich:

Zähler geht gegen Null, da $\begin{eqnarray*} x^2 \to 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} sin \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ beschränkt.

Nenner geht gegen Null, da sin 0 = 0

Also sehe ich in den Voraussetzungen von L'Hospital kein Problem.
Allerdings komme ich etwas später nicht mehr weiter:

$\begin{eqnarray*} \frac{f'}{g'} = \frac {2xsin \frac{1}{x} + x^2cos \frac{1}{x} \cdot (-\frac{1}{x^2})}{cosx}= \frac{2xsin \frac{1}{x} - cos \frac{1}{x}}{cosx} \end{eqnarray*}$ wenn ich mich nicht vertan hab.

Davon geht der Nenner gegen 1, der erste Summand vom Zähler geht gegen 0, aber was ist mit $\begin{eqnarray*} cos \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ . Wogegen geht denn der cos für eine unendlich große Zahl ?????

Gruß
Poldi

Edit: Huch, bin wohl bißchen spät dran mit meinem post!

06.02.2006, 21:31

JochenX

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$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~cos(\frac{1}{x})=\lim_{y \to \infty}~\cos(y) \end{eqnarray*}$
so erst mal vereinfacht

nimm an, der grenzwert sei a und führe das zu einem widerspruch; das ganze konvergiert nämlich nicht

widerspruchsbeweis skizziere ich dir mal auf:
a ist zwischen [-1,1] sinnvoll, einig?
sei a>=0; wähle epslion=1/2; nun gebe es also ein x, so dass für alle x0>....
zeige aber, dass -1 danach noch angenommen wird
analog für a<0

06.02.2006, 21:31

MrRT

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Ich versteh es immer noch nicht? Wenn das eine Nullfolge ist und ich dann L'Hostital anwenden darf, kommt doch was viel beknackteres raus, was noch nicht mal richtig ist.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{2x*sin(\frac{1}{x})-cos(\frac{1}{x}) }{cos(x)} \end{eqnarray*}$

Danke Poldi, du bringst mein Problem auf den Punkt. Wink

Wink

06.02.2006, 21:35

MrRT

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Das ganze ist doch nicht mehr äquivalent mit der Ursprünglichen Aufgabe! Der Grenzwert soll ja 0 sein. Aber ich hab eben keine Ahnung wie ich drauf kommen soll bzw. warum L'Hospital nicht geht.

06.02.2006, 21:37

Poldi

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Zitat:

Original von LOED
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~cos(\frac{1}{x})=\lim_{y \to \infty}~\cos(y) \end{eqnarray*}$
so erst mal vereinfacht

nimm an, der grenzwert sei a und führe das zu einem widerspruch; das ganze konvergiert nämlich nicht

Was genau meinst Du mit "das Ganze"?
Also dass $\begin{eqnarray*} cos(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ nicht konvergiert hab ich mir schon fast gedacht und Deine Beweisstruktur ist soweit auch klar. Was heißt das denn jetzt für den gesamten Bruch, wenn ein Summand im Zähler nicht konvergiert??? Konvergiert der dann auch nicht???

06.02.2006, 21:40

Poldi

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Zitat:

Original von MrRT
Das ganze ist doch nicht mehr äquivalent mit der Ursprünglichen Aufgabe! Der Grenzwert soll ja 0 sein.

Äh, wieso soll der Grenzwert Null sein??? Es soll das x gegen Null laufen. Als Grenzwert könnte auch 17 rauskommen.

06.02.2006, 21:45

therisen

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Der Grenzwert stimmt schon @ Poldi Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich würde die ganze Aufgabe jedoch anders beweisen:

Es gilt
$\begin{eqnarray*} \frac{-x^2}{\sin(x)} \leq \frac{x^{2}\sin\left(\frac{1}{x}\right) }{\sin(x)} \leq \frac{x^2}{\sin(x)} \end{eqnarray*}$

Darauf kannst du jetzt deinen l'Hospital loslassen und du erhältst dann für $\begin{eqnarray*} x\to 0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 0 \leq \frac{x^{2}\sin\left(\frac{1}{x}\right) }{\sin(x)} \leq 0 \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

06.02.2006, 21:48

sqrt(2)

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Die Regel von L'Hospital lautet

Zitat:

Sind die Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ stetig auf $\begin{eqnarray*} [a,b) \end{eqnarray*}$ und diferenzierbar auf $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ , gilt

$\begin{eqnarray*} f(a)=g(a)=0, g'(x)\neq 0\forall x\in(a,b) \end{eqnarray*}$ ,

dann existiert mit dem Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a}\frac{ f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \lim_{ x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} \end{eqnarray*}$ . Dabei ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x) } \end{eqnarray*}$ existiert hier nicht. Die Regel von L'Hospital kann man daher nicht anwenden.

06.02.2006, 21:50

MrRT

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Doch der Grenzwert ist Null. Es gibt ja auch noch CAS-Taschenrechner. Aber egal, deshalb hab ich ja noch nicht verstanden, warum es nicht geht.

Hier mal wie sie aussieht.

Edit: na gut dann eben kein Graph

06.02.2006, 21:54

therisen

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Hallo MrRT,

hast du dir die Beiträge von sqrt(2) und mir denn durchgelesen?

Gruß, therisen

06.02.2006, 21:58

sqrt(2)

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Zitat:

Original von MrRT
Doch der Grenzwert ist Null. Es gibt ja auch noch CAS-Taschenrechner.

Nur weil es so aussieht, heißt es nicht, dass es so ist.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}}{\cos x}=\lim_{x\to 0}\frac{2x\sin\frac{1}{x}}{\cos x} -\lim_{x\to 0}\cos\frac{1}{x}=-\lim_{x\to 0}\cos\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

... und was soll $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\cos\frac{1}{x}=\lim_{z\to\infty}\cos z \end{eqnarray*}$ sein?

06.02.2006, 22:03

JochenX

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Zitat:

Original von sqrt(2)

Zitat:

Original von MrRT
Doch der Grenzwert ist Null. Es gibt ja auch noch CAS-Taschenrechner.

Nur weil es so aussieht, heißt es nicht, dass es so ist.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}}{\cos x}=\lim_{x\to 0}\frac{2x\sin\frac{1}{x}}{\cos x} -\lim_{x\to 0}\cos\frac{1}{x}=-\lim_{x\to 0}\cos\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

jetzt wendest du ja doch den satz von de l'hospital an!
dieser erste term war doch gerade das l'hospitalergebnis....

der grenzwert vom ganzen ist 0, denke ich auch, natürlich nach dem (falschen wie du oben erklärst) anwenden nicht mehr... da hast du recht, aber deine umformung verstehe ich trotzdem nicht, will das cos(1/x) nicht auch durch das cos(x) geteilt werden?

06.02.2006, 22:05

sqrt(2)

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Zitat:

Original von LOED
jetzt wendest du ja doch den satz von de l'hospital an!

Ja, um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$ nicht existiert, und man die Regel deshalb nicht hätte anwenden dürfen, bzw. jetzt nicht folgern kann $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$ .

06.02.2006, 22:06

JochenX

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achso, das war hier unverständlich
vor allem deine aussage mit dem "dass es nicht so sein muss" und dann irgendwie einen gegenbeweis kam mir komisch vor.....

missverständnis, tut mir leid Wink

Wink

deine umformung mit dem auseinanderziehen ist mir dennoch nicht klar.....

06.02.2006, 22:11

sqrt(2)

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Ah, jetzt sehe ich das Missverständnis... Ich bin davon ausgegangen, dass

Zitat:

Original von MrRT
Doch der Grenzwert ist Null.

sich auf

Zitat:

Original von sqrt(2)
Die Regel von L'Hospital kann man daher nicht anwenden.

bezog -- weil der Graph von $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$ tatsächlich so aussieht, als gehe er für $\begin{eqnarray*} x\to0 \end{eqnarray*}$ gegen null, es aber nicht tut.

Zitat:

Original von LOED
deine umformung mit dem auseinanderziehen ist mir dennoch nicht klar.....

Oh weh -- hab ich schon wieder die Limessätze falsch angewendet? Den zweiten Summanden habe ich ohne es ausführlich hinzuschreiben auseinandergezogen und $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0}\cos x=1 \end{eqnarray*}$ angewendet.

06.02.2006, 22:18

JochenX

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Zitat:

Original von sqrt(2)

Zitat:

Original von LOED
deine umformung mit dem auseinanderziehen ist mir dennoch nicht klar.....

Oh weh -- hab ich schon wieder die Limessätze falsch angewendet? Den zweiten Summanden habe ich ohne es ausführlich hinzuschreiben auseinandergezogen und $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0}\cos x=1 \end{eqnarray*}$ angewendet.

hmmm, da frage ich mich aber doch, ob du bei $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~\frac{\cos(\frac{1}{x})}{\cos(x)} \end{eqnarray*}$ bei nichtexistenten Einzelgrenzwerten den limes auf Zähler und Nenner verteilen darfst?
Würden sie beide nicht existieren, dürfest du es in keinem Fall tun, existiert einer, einer nicht scheint es zu gehen.....
ohne auseinanderziehen wäre es natürlich noch schlimmer.

Nun gut, ich gebe mich mal zufrieden ...... hier scheints zu gehn.
Wink

Wink

06.02.2006, 22:18

MrRT

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So Leute, jetzt habt ihr mich total verrückt gemacht. Kann es mir nochmal jemand erklären. Aber diesmal für Dumme Big Laugh

Big Laugh

verwirrt

06.02.2006, 22:20

JochenX

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Zitat:

Original von therisen
Der Grenzwert stimmt schon @ Poldi Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich würde die ganze Aufgabe jedoch anders beweisen:

Es gilt
$\begin{eqnarray*} \frac{-x^2}{\sin(x)} \leq \frac{x^{2}\sin\left(\frac{1}{x}\right) }{\sin(x)} \leq \frac{x^2}{\sin(x)} \end{eqnarray*}$

Darauf kannst du jetzt deinen l'Hospital loslassen und du erhältst dann für $\begin{eqnarray*} x\to 0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 0 \leq \frac{x^{2}\sin\left(\frac{1}{x}\right) }{\sin(x)} \leq 0 \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

haltet euch daran, dass sieht sinnvoll aus

06.02.2006, 22:27

MrRT

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Zitat:

Original von LOED

Zitat:

Original von therisen
Der Grenzwert stimmt schon @ Poldi Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich würde die ganze Aufgabe jedoch anders beweisen:

Es gilt
$\begin{eqnarray*} \frac{-x^2}{\sin(x)} \leq \frac{x^{2}\sin\left(\frac{1}{x}\right) }{\sin(x)} \leq \frac{x^2}{\sin(x)} \end{eqnarray*}$

Darauf kannst du jetzt deinen l'Hospital loslassen und du erhältst dann für $\begin{eqnarray*} x\to 0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 0 \leq \frac{x^{2}\sin\left(\frac{1}{x}\right) }{\sin(x)} \leq 0 \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

haltet euch daran, dass sieht sinnvoll aus

OK, das sieht jetzt nach was aus.

06.02.2006, 22:32

Poldi

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Ich hab's auch verstanden Rock

Rock

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